Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy


Tematy pokrewne
Macierze
Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy
Reprezentacja macierzy w pamięci komputera
Mnożenie macierzy przez skalar
Dodawanie macierzy
Transponowanie macierzy
Mnożenie macierzy
Potęgowanie macierzy
Eliminacja Gaussa
Eliminacja Gaussa-Crouta
Wyznacznik macierzy
Rozkład LU
Rozkład LU – rozwiązywanie układu równań liniowych
Rozkład LU – macierz odwrotna
Rozkład LU – wyznacznik macierzy

 

Macierz (ang. matrix) jest prostokątną tablicą liczb, np. taką jak poniżej:

 

  3 6 3  
  1 7 2  
  4 2 0  
  3 3 1  

 

Liczby zawarte w macierzy będziemy nazywali elementami (ang. elements). Elementy macierzy ułożone są w poziome wiersze (ang. rows) i w pionowe kolumny (ang. columns). Rozmiar macierzy (ang. matrix size) określony jest przez liczbę wierszy i kolumn. Zatem zapis:

 

Am × n

 

oznacza macierz A (macierze tradycyjnie zapisuje się wielkimi literami) zawierającą m wierszy i n kolumn. Nasza przykładowa macierz posiada wymiar 4 × 3 (4 wiersze na 3 kolumny). Elementy macierzy posiadają dwa indeksy określające kolejno wiersz i kolumnę, w których dany element występuje. Dla przykładowej macierzy A4 × 3 indeksy elementów są następujące:

 

A4 × 3 =
  a1,1 a1,2 a1,3  
  a2,1 a2,2 a2,3  
  a3,1 a3,2 a3,3  
  a4,1 a4,2 a4,3  

 

Pierwszy indeks będziemy nazywali indeksem wierszowym (ang. row index). Drugi będziemy nazywali indeksem kolumnowym (ang. column index). Oczywiście zamiast rozpisywania całej macierzy matematycy stosują różne skróty, np. takie:

 

A = [ai,j]m × n

 

Zapis ten oznacza, iż macierz A składa się z elementów ai,j, których indeksy przebiegają zakresy: i = 1,2,...,m oraz j = 1,2,...,n.

Przekątną główną macierzy (ang. main diagonal) tworzą elementy o równych indeksach wierszowych i kolumnowych, np:

 

A3 × 3 =
  a1,1 a1,2 a1,3  
  a2,1 a2,2 a2,3  
  a3,1 a3,2 a3,3  

 

Macierz nazywamy wektorem wierszowym (ang. row vector), jeśli składa się tylko z jednego wiersza, np.

 

A1 × 4 =
  a1 a2 a3 a4  

 

Macierz nazywamy wektorem kolumnowym (ang. column vector), jeśli składa się tylko z jednej kolumny, np:

 

A4 × 1 =
  a1  
  a2  
  a3  
  a4  

 

Macierz nazywamy kwadratową (ang. square matrix), jeśli posiada tyle samo wierszy co kolumn, np:

 

A4 × 4 =
  a1,1 a1,2 a1,3 a1,4  
  a2,1 a2,2 a2,3 a2,4  
  a3,1 a3,2 a3,3 a3,4  
  a4,1 a4,2 a4,3 a4,4  

 

Stopień macierzy (ang. matrix order) kwadratowej określa liczba jej wierszy lub kolumn. Powyższa macierz jest stopnia 4.

Macierz nie będąca macierzą kwadratową jest macierzą prostokątną (ang. rectangular matrix).

Macierz nazywamy diagonalną (ang. diagonal matrix), jeśli jest macierzą kwadratową i wszystkie elementy jej głównej przekątnej są niezerowe, a pozostałe elementy mają wartość równą zero, np:

 

A =
  4 0 0 0  
  0 2 0 0  
  0 0 9 0  
  0 0 0 7  

 

Macierz nazywamy jednostkową (ang. identity matrix) i oznaczamy literą I, jeśli jest macierzą diagonalną, a wszystkie niezerowe elementy są równe 1, np:

 

I 4=
  1 0 0 0  
  0 1 0 0  
  0 0 1 0  
  0 0 0 1  

 

Macierz nazywamy zerową (ang. zero matrix lub null matrix) i oznaczamy literą grecką Θ, jeśli wszystkie jej elementy są równe 0, np:

 

Θ 3=
  0 0 0  
  0 0 0  
  0 0 0  

 

Macierz nazywamy trójkątną (ang. triangular matrix), jeśli jest macierzą kwadratową i elementy zerowe znajdują się tylko ponad główną przekątną (macierz trójkątna dolna L – ang. lower triangular matrix) lub tylko pod główną przekątną (macierz trójkątna górna U – ang. upper triangular matrix). Na przykład:

 

L =
  l1,1 0 0 0  
  l2,1 l2,2 0 0  
  l3,1 l3,2 l3,3 0  
  l4,1 l4,2 l4,3 l4,4  
  U =
  u1,1 u1,2 u1,3 u1,4  
  0 u2,2 u2,3 u2,4  
  0 0 u3,3 u3,4  
  0 0 0 u4,4  

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.