ASTROMETRIA

W poprzedniej pracy poświęconej zadaniom z Olimpiad Astronomicznych [1] wróciliśmy uwagę, że autorzy niektórych zadań używają sformułowania nie uwzględniać refrakcji. Czy zjawisko to ma charakter fizyczny czy geometryczny, czy zależy ono od ruchu dobowego albo rocznego, czy też od położenia obserwatora w dowolnym punkcie Ziemi i dowolnym czasie ?

We wspomnianej pracy poznaliśmy też geometrię sfery niebieskiej, stosowane układy współrzędnych i wzory trygonometrii sferycznej. Dla początkującego astronoma wystarczy przeświadczenie, że w układzie horyzontalnym i godzinnym współrzędne rozpatrywanych obiektów na ogół zmieniają się (są związanie z obserwatorem). Tylko w układzie współrzędnych równikowych równonocnych mamy do czynienia z subtelnymi zjawiskami, powodującymi powolne zmiany (roczne i wiekowe) rektascensji i deklinacji.

Problem precyzyjnego wyznaczania współrzędnych astronomicznych pojawia się od zarania dziejów

i miał charakter praktyczny. Historia astrometrii to historia astronomii fundamentalnej, rozwój metod matematycznych, teoria i budowa przyrządów astronomicznych [2].

W niniejszej pracy zajmiemy się zjawiskami, których znajomość ma na celu poprawę (redukcję) widomej (obserwowanej) pozycji ciała niebieskiego:

- paralaksą,

- precesją,

- prędkością radialną i ruchami własnymi.

REFRAKCJA ASTRONOMICZNA

ZAD 1

Pewien turysta dotarł wieczorem 20 czerwca 2012 roku na wyspę Grimsey, leżącą blisko północnego wybrzeża Islandii.

                Podaj, kiedy turysta mógł zaobserwować najbliższą kulminację dolną Słońca i na jakiej wysokości ona nastąpiła. Czy w tym momencie mógł on dostrzec całą tarczę Słońca?

                Niezbędne dane odszukaj samodzielnie.

[LVI OA I ETAP], [3].

Grímsey - mała wyspa leżąca 40 km na północ od Islandii, dokładnie na kole podbiegunowym - równoleżnik ziemski o szerokości geograficznej 66°33'39" N.Początek astronomicznego lata 20.06. 23^h09^m .

ODP Słońce będzie widoczne w całości, choć mocno zniekształcone przez atmosferę.

Korzystaliśmy tutaj z gotowych wzorów , ale myślę, że użytkownik znajdzie je bez trudu samodzielnie.

ZAD 2

Podaj ekstremalne szerokości geograficzne występowania "księżycowych dni i nocy polanych" dla Księżyca blisko pełni, rozumianych jako zjawisko, w którym Księżyc nie zachodzi w dwóch kolejnych kulminacjach dolnych oraz zjawisko, w którym Księżyc w kolejnych dwóch kulminacjach górnych nie jest widoczny. Przedyskutuj, kiedy w ciągu roku takie zjawiska (dla wskazanych poprzednio obszarów) mogą nastąpić podczas pełni Księżyca.

[XLVII OA, II ETAP]

Ciekawa byłaby dyskusja w przypadku, gdyby obserwator znajdował się na biegunie geograficznym. Księżyc może znajdować wtedy nieprzerwanie ponad horyzontem przez kilka dni w okresie pełni i podobnie jak Słońce podczas polarnej nocy rolę źródła światła.Wówczas Księżyc w jest niemalże tak wysoko o północy, jak Słońce w ciągu dnia w południe.W środku zimy polarnej Księżyc pozostaje wysoko nad horyzontem przez kilka dni podczas okresu letniego przesilenia.

ODP

Dla obserwatora:

-  - Księżyc jest blisko pełni i ma maksymalną deklinację. Na tych szerokościach panuje wtedy noc polarna (słoneczna),

-    - Księżyc jest blisko nowiu i ma minimalną deklinację; zjawisko ”księżycowej nocy polarnej” występuje podczas dnia polarnego (słonecznego).

Powyższa odpowiedź dotyczy obserwatora na półkuli północnej i dzieje się to w miesiącach przesilenia zimowego.

Dla obserwatora na półkuli południowej zjawisko to jest możliwe w miesiącach przesilenia letniego.

ZAD 3

W jakich szerokościach geograficznych Słońce wschodzi i zachodzi co najmniej 100 razy w ciągu roku?

Uwaga: Współrzędne równikowe Słońca znajdują się między innymi w szkolnych tablicach matematyczno-fizycznych.

[XXXI OA I ETAP]

                XXXI Olimpiada Astronomiczna była rozgrywana w latach 1987/88. Wówczas dostęp do profesjonalnych roczników astronomicznych był dla ucznia bardzo ograniczony. Dzisiaj w dobie elektroniki korzystamy szybko i szeroko z tego typu opracowań (katalogi astronomiczne, roczniki, almanachy).

Przy uwzględnieniu refrakcji, warunek, że Słońce wschodzi i zachodzi ma postać:

.

Jeżeli założymy kołowość orbity ziemskiej, to można przyjąć, że interesujące nas zjawisko jest symetryczne względem przesilenie letniego.

ODP Słońce wschodzi i zachodzi 100 razy dla:

- obserwatora na półkuli północnej  (wiosna-lato),

- obserwatora na półkuli południowej  (jesień-zima).

ZAD 4

Przedyskutuj jak długo trwa dzień na terenie Polski w dniu przesilenia letniego. Taką samą analizę przeprowadź dla dnia przesilenia zimowego i dni równonocy.

[XLIV OA I ETAP]

Rozpatrzmy miejscowości w Polsce o skrajnych szerokościach geograficznych Jastrzębia Góra i Ustrzyki Górne.

Istnienie refrakcji astronomicznej wydłuża dzień astronomiczny w stosunku do jego długości teoretycznej.Zmiany warunków pogodowych, wywołujące zmiany wielkości refrakcji atmosferycznej powodują również niewielkie, niemożliwe do dokładnego prognozowania zmiany długości danego dnia.Dlatego przyjmuje się średnią refrakcję 35'.W przypadku obiektów rozciągłych ( Słońce, Księżyc)dochodzą jeszcze średnie rozmiary kątowe 16'.

,

Analizując tekst zadania łatwo można przewidzieć, że będziemy musieli wykonać sporo powtarzających się rachunków.

Dlatego proponuję utworzenie prostego programu, To jest doskonały moment na wprowadzenie ucznia-rachmistrza w metody numeryczne.

Między programistami trwają nieustanne debaty, czy programowanie komputerów jest sztuką (formą twórczości), rzemiosłem czy procesem inżynieryjnym. Wysuwane są różne argumenty, a spór wydaje się nie mieć końca. Przedstawię krótko moje uzasadnienie:

- są koledzy-nauczyciele, którzy nadal uważają maksymę łacińską repetitio est mater studiorum  za podstawową technikę dydaktyczną. Niżej podpisany nie zgadza się całkowicie z takim podejściem, przynajmniej na polu astronomii sferycznej. Struktura podstawowych wzorów tego działu astronomii (trójkąt paralaktyczny) jest prosta, ale wbrew pozorom, wzory są trudne do zapamiętania; występuje bowiem w ich od 4 do 5 zmiennych, umiejscowionych pod funkcjami sinus lub cosinus w różnej konfiguracji,

- na moją propozycję pisania prostych programów pada zazwyczaj ze strony uczniów pytanie: a w jakim języku ?Przekonuję, że system obliczeń numerycznych wymaga najpierw stworzenie algorytmu - skończonego ciągu jasno zdefiniowanych czynności, albo jednoznacznego przepisu, który w skończonym czasie pozwala, po wprowadzeniu pewnych danych wejściowych, otrzymanie danych wynikowych. Takie banalne programy jakoś są omijane przez nauczycieli informatyki,

- zwolnienie ogromnej ilości czasu, pochłanianego dotychczas na ”ręczne” obliczenia I wykonywanie ich w rozsądnie krótkim czasie,

- dlaczego język Basic? Składnia języka FreeBasic (i pokrewnych QuickBasic, GW Besic), który wywodzi się z Visual Basic dla DOS jest prosta i pozwala początkującym programistom na szybkie przyswojenie podstawowej wiedzy i kształcenie w zakresie metod numerycznych.

listing1             program 1

'
'Program 1
'
Screen 9
'
'Wartość liczby pi
'
const PI=3.1415927
'
'Deklarujemy zmienne
'
Dim as Double d, d1, f, f1, p, kat, t
Color 6,63
'
'Pętla zewnętrzna: szerokość geograficzna
'
For f=49.11 To 54.83 Step(54.83-49.11)
 '
 'Pętla wewnętrzna: deklinacja Słońca
 '
 For d=-23.44 To 23.44 Step 23.44
 '
 'Zamiana stopni na radiany
 '
 d1=d*PI/180
 '
 'Szerokość geograficzna w radianach
 '
 f1=f*PI/180
 '
 'Poprawka na refrakcję
 '
 p=-0.0148/cos(d1)/cos(f1)
 '
 'Kąt godzinny zachodu Słońca
 '
 kat=acos((p-tan(f1)*tan(d1)))
 '
 'Zamiana kąta godzinnego na miarę czasową
 '
 t=2*kat*180/PI/15
 '
 'Długość dnia
 '
 print "d=";d,"f=";f,"dlugosc dnia=";t 
 Next d
 Sleep
Next f
End

,

,

przygotowujemy:

dla przesilenia letniego :

dla równonocy wiosennej (jesiennej), tj. :

dla przesilenia zimowego :

Przedstawione wyżej wyniki mogą posłużyć to testowania poprawności działania przedstawionego programu.

ZAD 5

Przedstaw graficznie zmiany długości dnia w ciągu roku w Jastrzębiej Górze i Ustrzykach Górnych. Przyjmij, że moment wschodu i zachodu Słońca następuje wtedy, gdy środek tarczy słonecznej znajduje się na wysokości h = -51' _.

Podaj wnioski wynikające z porównania tych wykresów. Niezbędne dane liczbowe wyszukaj samodzielnie.

[LV OA I ETAP]

Zadanie to rozwiążemy  przy pomocy programu komputerowego użytego po niewielkiej modyfikacji (długość dni).

Program pozwala wyznaczyć kąt godzinny wschodu i zachodu Słońca z uwzględnieniem refrakcji. W przedstawionej wersji program ilustruje graficznie zależność kąta godzinnego wschodu i zachodu Słońca w zależności od deklinacji i szerokości geograficznej.

- Dla Ustrzyk długość dnia w dniu przesilenia letniego 16^h12^m (rachunek daje - 16^h11^m), dla Jastrzębiej - 17^h4^m (rachunek - 17^h20^m).

- na krańcu Polski,najdalej wysuniętym na południe (szczyt Opołonek) dzień przesilenia letniego trwa 16 h 12 min,natomiast na brzegu morskim w Jastrzębiej Górze - najdalej wysuniętym na północ krańcu Polski, dzień ten trwa o ponad godzinę dłużej (17 h 20 min).

Inne zastosowania:

- gdy natomiast interesuje nas zależność kąt godziny - deklinacja, dla danej miejscowości, wystarczy w pętli zewnętrznej położyć For f = φ To φ, a δ po kolei - 23,5 To 23,5,

- gdybyśmy chcieli uzyskać wykres dla dwóch miejscowości o różnych szerokościach geograficznych φ₁ > φ₂ pętlę zewnętrzną modyfikujemy: For f = φ₁ To φ₂ Step (φ₁ - φ₂).

Interesujące wyniki daje zastosowanie naszego programu dla szerokości zbliżonych do szerokości okołobiegunowych (subpolarnych):

Przesilenie letnie, półkula północna:

φ	Długość dnia	φ	Długość dnia
61º		65º
62º		66º
63º		66º5	.

UWAGA! Dla  i (koło podbiegunowe północne, przesilenie letnie):

 - punkt wchodu i zachodu pokrywają się - dzień polarny,

 Gdy  - matematycznie kąt godzinny jest nieokreślony, ale istnieje interpretacja astronomiczna; dla danej deklinacji δ Słońce nie może się znaleźć w horyzoncie w miejscowości o szerokości geograficznej φ. Innymi słowy w tej miejscowości Słońce przez pewien czas nie wschodzi (noc polarna) albo nie zachodzi (dzień polarny). Długość dnia polarnego jest zróżnicowana, od 24 godzin na terenach położonych na szerokościach geograficznych wyznaczających koła podbiegunowe do 6 miesięcy na samych biegunach.

Zauważmy przy okazji, że ze względu na zjawisko refrakcji atmosferycznej obszary występowania nocy polarnych i dni polarnych nie pokrywają się ze sobą.Obszar występowania dni polarnych jest nieco większy niż obszar zawarty wewnątrz koła podbiegunowego i wynosi φ >65°42', zaś obszar nocy polarnych – nieco mniejszy wynoszący φ >67°24'.

ZAD 6

Powszechnie funkcjonuje pogląd, że w okolicach równikowych zmrok zapada bardzo szybko. Aby zweryfikować ten pogląd, dla początków astronomicznych pór roku oblicz czas trwania zmierzchu cywilnego na równiku, na zwrotnikach oraz w Twojej miejscowości.

Otrzymane wartości liczbowe zestaw w tabelce.

[LIX OA I ETAP]                   

Oznaczamy:

t₀ - kąt godzinny zachodu Słońca z uwzględnieniem refrakcji,

t₆ - kąt godzinny Słońca na wysokości h = -6º,

p = -0,01483,

Deklarujemy:

- w pętli zewnętrznej naszego programu: For φ = -23,44 To 23,44 Step 23,44

- w pętli wewnętrznej For δ = -23,44 To 23,44 Step 23,44

Przykład:

Dla Tarnowa

- zmieniamy tylko pętlę zewnętrzną For Φ = -23,44 To φ

ODP

Długość trwania zmierzchu zależy od bieżącej deklinacji Słońca oraz szerokości geograficznej miejsca obserwacji. Na szerokości geograficznej 50° długość zmierzchu cywilnego waha się od pół godziny w okolicach równonocy do około 45 minut w okolicach przesilenia letniego i zimowego. Im bardziej przesuwamy się na północ, tym bardziej wzrasta długość zmierzchu, doprowadzając czasem do zjawiska białej nocy cywilnej;inaczej  - zmierzch przechodzi bezpośrednio w świt.

ZAD 7

Przedyskutuj, przez jaki okres czasu w ciągu roku na terenie Polski występują białe noce astronomiczne. W jakim okresie czasu takie białe noce trwają w Twojej miejscowości. Przyjmujemy, że biała noc astronomiczna zachodzi wtedy, gdy wysokość środka tarczy Słońca przez całą noc jest większa od -18 stopni.

[XLIX OA I ETAP]

Białe noce (cywilne)- cykliczne zjawisko astronomiczne występujące na dużych szerokościach geograficznych (powyżej około 55° N lub S), polegające na tym, że w pewnym okresie roku w nocy nie zapadają całkowite ciemności, czyli zmierzch przechodzi bezpośrednio w świt.Podczas białych nocy tarcza słoneczna chowa się pod horyzontem, ale dość płytko (mniej niż 12°).

Określamy - przez analogię - białe noce astronomiczne: Słońce jest pod linią horyzontu, ale pod mniejszym kątem niż 18°.

Zasadniczy warunek zaistnienia białej nocy astronomicznej na półkuli północnej, dołowanie północne:

,

.

Aby sformułować odpowiedź możemy skorzystamy z wieloletniej tabeli współrzędnych równikowych Słońca w [4] lub [5].

ODP. Dla 2015 roku:

Pytanie do czytelnika: dla jakich szerokości geograficznych mamy noc astronomiczną każdej doby ?

Odp. , .

Dlaczego w naszych obliczeniach nie uwzględnialiśmy refrakcji, a w powyższych zadaniach tak ? Przy horyzoncie średnia wartość refrakcji wynosi 35’ i jest łatwa do wyznaczenia prostymi metodami.Jak wiadomo atmosfera ziemska jest ośrodkiem niejednorodnym.Współczynnik załamania światła w powietrzu zależy od jego gęstości, a także w pewnej mierze od wilgotności.Gęstość powietrza zależy z kolei od ciśnienia i temperatury.Gdy Słońce znajduje się pod horyzontem mamy późny wieczór albo noc, temperatura wyraźnie spada.Dlatego wartość refrakcji jest wtedy trudna do prognozowania.

Poprawki te są ujęte w odpowiednich rocznikach astronomicznych i tablicach nawigacyjnych (dzisiaj programy komputerowe).

ZAD 8

ZAD 9

Przedyskutuj, czy w czasie pełnego roku stosunek sumy czasów przebywania środka tarczy Słońca nad horyzontem, do sumy czasów jego przebywania pod horyzontem zależy od szerokości geograficznej miejsca obserwacji.

[XXVI OA I ETA[]

            Zmiany długości dnia związane są głównie z nachyleniem osi obrotu Ziemi w stosunku do płaszczyzny jej ruchu wokół Słońca (ekliptyki).Długość dnia w danym miejscu na Ziemi zależy od deklinacji Słońca, która zmienia się wraz z porą roku, oraz od szerokości geograficznej miejsca obserwacji.Na jego długość nieznacznie wpływają również zmiany prędkości Ziemi w ruchu obiegowym wokół Słońca, z których wynikają zmiany prędkości kątowej w tym ruchu.

Gdybyśmy nie uwzględniali refrakcji, czyli przyjęli h = 0º, momenty wschodu i zachodu określa wzór:

. Dla danego obserwatora , to suma łuków dziennych środka tarczy Słońca nad horyzontem:

, gdzie t_n - kąt godzinny zachodu Słońca dla określonego dnia, a tym samym deklinacji:

Podobnie suma czasów przebywania środka tarczy pod horyzontem.

PARALAKSA

ZAD 10                                                                      

ZAD 11

ZAD 12

ZAD 13

PRECESJA

ZAD 14

ZAD 15

RUCHY WŁASNE GWIAZD, PRĘDKOŚĆ RADIALNA

ZAD 16

R- odległość w latach świetlnych, µ  - ruch własny wyrażony w sekundach łuku na rok, V_r - prędkość radialna w [^km/_s].

[XXXIX OA I ETAP]

Najszybciej porusza się sferze słaba gwiazda odkryta przez Barnarda 1916 roku.Znajduje się ona w gwiazdozbiorze Wężownika i ma ruch własny µ = 10"25, jej prędkość tangencjalna wynosi 90[^km/_s].W ciągu 180 lat gwiazda przesunie się na sferze 180·10"25 = 30'75 czyli o średnicę Księżyca.

Uwzględniając znak V_r > 0 - w przypadku oddalania się źródła lub V_r < 0, gdy obiekt zbliżania się do obserwatora dokonujemy pierwszej selekcji obiektów. Zakładamy ponadto, że dane podane w tabelce są uwolnione od efektu ruchuZiemi (ruch wirowy i orbitalny) oraz Słońca (ruch względem Galaktyki).

Oznaczmy:  - obecną odległość α Cen od Słońca.

Przykłady:
α Cen: - TAK	α Cma:  - NIE

ODP przedstawimy w formie tabelki:

Łatwo zauważyć, że pod nazwami katalogowymi figurują czasami (wyróżniony kolor) nazwy własne albo nr-y innych katalogów, np. (Syriusz),(Procjon), Bonner Durchmusterung 1739, Fundamentalny Katalog Gwiazd , Katalog Gliesego , Katalog Hipparcos . Przyczyna jest prosta; niegdyś katalogi miały głównie charakter astrometryczny (położenie na niebie). Gwałtowny rozwój technik obserwacyjnych spowodował powstanie katalogów specjalistycznych. Więcej na ten temat w [7].

Przypomnijmy, że prędkości radialne służą również do wyznaczania tzw. krzywej rotacji galaktyk. Spłaszczenie tej krzywej sugeruje obecność w galaktykach innej, niewidocznej ciemnej materii.

ZAD 17

ZAD 18

Tabela zawiera wyniki pomiarów geocentrycznej prędkości radialnej Arktura (α Bootis), przeprowadzone w ciągu roku w jednym z obserwatoriów astronomicznych. Na podstawie danych zawartych w tabeli sporządź wykres zmian prędkości radialnych Arktura oraz zinterpretuj otrzymany wynik.

[L OA II ETAP]

Arktur był pierwszą gwiazdą, u której stwierdzono ruch własny – w ciągu 800 lat przesuwa się na niebie o odległość kątową równą średnicy tarczy Księżyca. Odkrycia tego dokonał Edmund Halley w 1717 roku.

Dni liczone od początkowej daty (wykres wykonany pod Office Excel).

ODP interpretacje krzywej prędkości radialnych pozostawiam czytelnikowi. Proponuję skorzystać z WIKIPEDII (długookresowe oscylacje prędkości radialnej).

ZAKOŃCZENIE

Trudno wskazać - we współczesnej astronomii - dziedzinę, która nie korzystałyby z danych astrometrycznych; inaczej astrometria to kręgosłup nie tylko tradycyjnej astronomii, ale również fundament nowoczesnej astrofizyki, kosmologii obserwacyjnej czy też interdyscyplinarnych dziedzin (astrogeologia, astrobiologia).

Wymieńmy kilka najnowszych projektów, w których uczestniczą polscy astronomowie wykorzystujący zaawansowane technologie obserwacyjne. Zwróćmy uwagę na międzynarodową współpracę polskich astrofizyków [8], [9]:

Dynamiczny rozwój instrumentarium i technik obserwacyjnych, technik numerycznych, badania fizyków-teoretyków powodują, że w niektórych kręgach astronomów zamiennie stosowane są terminy ASTROMETRIA I ASTROFIZYKA.

NIESTETY KOLEJNE LATA BEZ ASTRONOMII W SZKOLE

PRZYPISY, LITERATURA:

[1] Sypek T., Zadania z olimpiad astronomicznych, Astronomia sferyczna, Serwin Edukacyjny strony www  ILO, Tarnów,

[2] Kurnik H. Instrumenty obserwacyjne astrometrii, Od gnomonu do CCD i interferometru optycznego, Poznań, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000,

[3] teksty zadań zostały zaczerpnięte z następujących pozycji:

- Chrupała H., Szczepański M., T.,25 lat olimpiad astronomicznych, WSZiP, pozycja ta, bez rozwiązań zadań, jest dostępna w: http://lubimyczytac.pl/ksiazka/160815/25 lat olimpiad astronomicznych,

- zadania z olimpiad astronomicznych XXVI - XXX, Chrupała H., Chorzów 1994, Zadania z olimpiad  astronomicznych XXXI - XXXV, Chrupała H. , Chorzów 1994 (publikacje te dotyczą Olimpiad Astronomicznych

- zadania z olimpiad (lata 70 i 80 - te), H. Chrupała, J.M. Kreiner, M.T. Szczepański: Zadania z astronomii z rozwiązaniami; - J.M. Kreiner:  Astronomia z astrofizyką, Wydawnictwo Planetarium Śląskiego, Chorzów 1994,

- archiwum Koła Astronomicznego przy I Liceum Ogólnokształcącym w Tarnowie (regulaminy olimpiad, teksty zadań  zawodów stopnia I-go, 1 sza- i 2-ga seria zadań, plakaty Komitetu Głównego OA),

- pliki na stronie www Planetarium Śląskie, Chorzów,

[4] Mietelski J., Astronomia w geografii, Wydawnictwo Naukowe PAN, W-wa, 2005,

[5] Ściężor T., Almanach Astronomiczny na rok 2015, Polskie Towarzystwo Astronomiczne, W-wa 2014 , wersja PDF],

[6] Sypek T., Studnia potencjału grawitacyjnego, Serwis Edukacyjny strony www ILO, Tarnów,

[7] https://pl.wikipedia.org/wiki/Katalog_astronomiczny,

[8] Stępień, K. Astronomia z astrofizyką w Polsce u progu XXI wieku., NAUKA 4/2004, stromy internetowe uczelni,

[9] Wolszczan A. Astronomia pozasłonecznych układów planetarnych, http://www2.astro.psu.edu/users/alex/wyklad1-4.pdf.