Informatyka dla klasy IIK

Sito Eratostenesa

Liczby pierwsze można wyszukiwać poprzez eliminację ze zbioru liczbowego wszystkich wielokrotności wcześniejszych liczb.

Przykład:

Mamy następujący zbiór liczb naturalnych:

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

Ze zbioru wyrzucamy wszystkie wielokrotności pierwszej liczby 2. Otrzymujemy następujący zbiór:

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

W zbiorze pozostały liczby nieparzyste – z wyjątkiem pierwszej liczby 2. Liczby podzielne przez dwa zostały wyeliminowane. Teraz eliminujemy wielokrotności kolejnej liczby 3. Otrzymamy następujący zbiór:

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

Teraz w zbiorze pozostały liczby niepodzielne przez 2 i 3 – z wyjątkiem pierwszych 2 i 3. Zwróć uwagę, iż kolejna liczba 4 została już ze zbioru wyeliminowana. Skoro tak, to ze zbioru zniknęły również wszystkie wielokrotności liczby 4, ponieważ są one również wielokrotnościami liczby 2, a te wyeliminowaliśmy przecież na samym początku. Przechodzimy zatem do liczby 5 i eliminujemy jej wielokrotności otrzymując zbiór wynikowy:

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

Oprócz 2,3 i 5 pozostałe w zbiorze liczby nie dzielą się już przez 2,3 i 5. Liczba 6 jest wyeliminowana (wielokrotność 2), zatem przechodzimy do 7. Po wyeliminowaniu wielokrotności liczby 7 zbiór przyjmuje postać:

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

W zbiorze pozostały same liczby pierwsze.

{2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

Przy eliminacji wystarczy usunąć ze zbioru wielokrotności liczb leżących w przedziale od 2 do pierwiastka z n. Wyjaśnienie tego faktu jest identyczne jak w algorytmie szukania liczb pierwszych przez testowanie podzielności. Jeśli liczba p jest złożona, to musi posiadać czynniki pierwsze w przedziale od 2 do pierwiastka z p.

Powyższe operacje wyrzucania wielokrotności prowadzą do przesiania zbioru wejściowego. W zbiorze pozostają tylko liczby pierwsze, liczby będące wielokrotnościami poprzedzających je liczb zostają ze zbioru odsiane. Algorytm dokonujący tej eliminacji nosi nazwę sita Eratostenesa (ang. Eratosthenes' sieve) i jest jednym z najszybszych sposobów generowania liczb pierwszych.

Sito Eratostenesa (ang. the sieve of Eratosthenes) jest algorytmem dwuprzebiegowym. Najpierw dokonuje on eliminacji liczb złożonych ze zbioru zaznaczając je w określony sposób, a w drugim obiegu przegląda zbiór ponownie wyprowadzając na wyjście liczby, które nie zostały zaznaczone. Podstawowe znaczenie w tym algorytmie ma wybór odpowiedniej struktury danych do reprezentacji zbioru liczb. Na tym polu można dokonywać różnych optymalizacji. W pierwszym podejściu zastosujemy tablicę wartości logicznych T. Element T[i] będzie odpowiadał liczbie o wartości i. Zawartość T[i] będzie z kolei informowała o tym, czy liczba i pozostała w zbiorze (T[i] = true) lub została usunięta (T[i] = false).

Rozwiązanie 1

Najpierw przygotowujemy tablicę reprezentującą zbiór liczbowy wypełniając ją wartościami logicznymi true. Odpowiada to umieszczeniu w zbiorze wszystkich liczb wchodzących w zakres od 2 do n. Następnie z tablicy będziemy usuwali kolejne wielokrotności początkowych liczb od 2 do pierwiastka całkowitego z n w pisując do odpowiednich elementów wartość logiczną false. Na koniec przeglądniemy zbiór i wypiszemy indeksy elementów zawierających wartość logiczną true – odpowiadają one liczbom, które w zbiorze pozostały.

Za pierwszą wielokrotność do wyrzucenia ze zbioru przyjmiemy kwadrat liczby i. Przyjrzyj się naszemu przykładowi. Gdy wyrzucamy wielokrotności liczby 2, to pierwszą z nich jest 4 = 2². Następnie dla wielokrotności liczby 3 pierwszą do wyrzucenia jest 9 = 3², gdyż 6 zostało wyrzucone wcześniej jako wielokrotność 2. Dla 5 będzie to 25 = 5², gdyż 10 i 20 to wielokrotności 2, a 15 jest wielokrotnością 3, itd. Pozwoli to wyeliminować zbędne obiegi pętli usuwającej wielokrotności.

Algorytm sita Eratostenesa

Wejście

–

liczba określająca górny kraniec przedziału poszukiwania liczb pierwszych, n

N, n > 1

Wyjście:

Kolejne liczby pierwsze w przedziale od 2 do n.

Zmienne pomocnicze

T	–	tablica wartości logicznych. T[i] {false,true}, dla i = 2,3,...,n.
g	–	zawiera granicę wyznaczania wielokrotności. g N
i	–	przebiega przez kolejne indeksy elementów T[i]. i N
w	–	wielokrotności wyrzucane ze zbioru T, w N

Lista kroków:

K01:	Dla i = 2,3,...,n wykonuj T[i] ← true	; zbiór początkowo zawiera wszystkie liczby
K02:	g ← [√n]	; obliczamy granicę eliminowania wielokrotności
K03:	Dla i = 2,3,...,g wykonuj kroki K04...K08	; w pętli wyrzucamy ze zbioru wielokrotności i
K04:	Jeśli T[i] = false, to następny obieg pętli K03	; sprawdzamy, czy liczba i jest w zbiorze
K05:	w ← i²	; jeśli tak, wyrzucamy jej wielokrotności
K06:	Dopóki w ≤ n wykonuj kroki K07...K08	; ze zbioru
K07:	T[w] ← false
K08:	w ← w + i	; następna wielokrotność
K09:	Dla i = 2,3,...,n wykonuj krok K10	; przeglądamy zbiór wynikowy
K10:	Jeśli T[i] = true, to pisz i	; wyprowadzając pozostałe w nim liczby
K11:	Zakończ

Rozwiązanie 2

Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2. Zatem wszystkie pozostałe liczby parzyste (4, 6, 8, ...) już nie mogą być pierwsze. Utwórzmy tablicę T, której elementy będą reprezentowały kolejne liczby nieparzyste, począwszy od 3. Poniżej przedstawiamy początkowe przypisania indeksów liczbom nieparzystym.

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Komórka o indeksie i oznacza liczbę o wartości 2i + 3. Np. komórka 7 reprezentuje liczbę 2x7 + 3 = 17.

Liczba o wartości k jest reprezentowana przez komórkę [k/2] - 1. Np. liczbę 45 reprezentuje komórka [45/2] - 1 = 21.

Z poprzedniego algorytmu pamiętamy, że pierwszą wyrzucaną wielokrotnością jest zawsze kwadrat liczby podstawowej. Nasza tablica rozpoczyna się od liczby 3, zatem pierwszą wielokrotnością, którą usuniemy, będzie liczba 9 na pozycji 4:

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Zauważ, że kolejne wielokrotności liczby 3, które są reprezentowane w tablicy, znajdują się w niej w odstępach co 3:

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Oznaczmy przez p odstępy pomiędzy wielokrotnościami, a przez q pozycję kwadratu liczby, której wielokrotności usuwamy z tablicy. Na początku mamy:

p₀ = 3
q₀ = 3

Po usunięciu tych wielokrotności tablica T nie będzie zawierała dalszych liczb podzielnych przez 3. Przejdźmy do kolejnej liczby, czyli do 5. Kwadrat 5 znajduje się na pozycji 11:

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Kolejne wielokrotności 5 znajdują się w naszej tablicy w odstępach co 5 (niektóre z nich są usunięte, ponieważ są również wielokrotnościami liczby 3) :

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Zapiszmy:

p₁ = p₀ + 2 = 3 + 2 = 5
q₁ = q₀ + 8 = 3 + 8 = 11

Następna liczba to 7 i jej pierwsza wielokrotność 49 na pozycji 23. Kolejne wielokrotności są w odstępach co 7:

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Znów zapiszmy:

p₂ = p₁ + 2 = 5 + 2 = 7
q₂ = q₁ + 12 = 11 + 12 = 23

Następna liczba to 9 i jej pierwsza wielokrotność 81 na pozycji 39. Kolejne wielokrotności są w odstępach co 9:

indeks	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
liczba	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57	59	61	63	65	67	69	71	73	75	77	79	81

Znów zapiszmy:

p₃ = p₂ + 2 = 7 + 2 = 9
q₃ = q₂ + 16 = 23 + 16 = 39

Wyrzucanie wielokrotności liczby 9 możemy pominąć, ponieważ sama liczba 9 jest już wyrzucona z tablicy przez 3. Ostatnią rozważaną tu liczbą jest 11 o kwadracie równym 121. Liczba 121 znajduje się na pozycji [121/2] - 1 = 59:

p₄ = p₃ + 2 = 9 + 2 = 11
q₄ = q₂ + 20 = 39 + 20 = 59

W tablicy ta pozycja już nie występuje (indeksy kończą się na wartości 39), zatem kończymy. W T pozostały jedynie liczby pierwsze. Na koniec wyprowadźmy wzory rekurencyjne dla kolejnych wartości p oraz q. W tym celu wystarczy zauważyć prostą zależność (dla dociekliwych - wynika ona z rozkładu kwadratów liczb nieparzystych na sumę różnic - patrz: całkowity pierwiastek kwadratowy):

Kolejne p powstaje z poprzedniego przez dodanie 2. Kolejne q powstaje z poprzedniego przez dodanie 2(p-1):

i	p_i	2(p_i-1)	q_i
0	3		3
1	3+2 = 5	2x(5-1) = 8	3+8 = 11
2	5+2 = 7	2x(7-1) = 12	11+12 = 23
3	7+2 = 9	2x(9-1) = 16	23+16 = 39
4	9+2 = 11	2x(11-1) = 20	39+20 = 59

Zatem możemy zapisać wzór rekurencyjny:

p₀ = 3, q₀ = 3 – wartości startowe

Dla i > 0:

p_i = p_i_-1 + 2
q_i = q_i-1 + 2(p_i- 1)

Po tych rozważaniach przystępujemy do zapisu algorytmu.

Algorytm ulepszonego sita Eratostenesa

Wejście

–

liczba określająca górny kraniec przedziału poszukiwania liczb pierwszych, n

N, n > 1

Wyjście:

Kolejne liczby pierwsze w przedziale od 2 do n.

Zmienne pomocnicze

T	–	tablica wartości logicznych.
i, k	–	przebiega przez indeksy T. i N
p, q	–	odstęp wielokrotności oraz pierwsza wielokrotność, p,q N
m	–	połowa z n, m N

Lista kroków:

K01:	m ← n shr 1	; m to połowa z n
K02:	Utwórz m elementową tablicę T i wypełnij ją wartościami true	; w T są początkowo wszystkie liczby nieparzyste
K03:	i ← 0	; indeks kolejnych liczb liczb pierwszych w T
K04:	p ← 3; q ← 3	; odstęp 3, pierwsza wielokrotność 3 (9)
K05:	Jeśli T[i] = false, to idź do K10	; przeskakujemy liczby wyrzucone z T
K06:	k ← q	; w k indeks pierwszej wielokrotności liczby 2i + 1
K07:	Dopóki k < m wykonuj kroki K08...K09	; wyrzucamy z T wielokrotności
K08:	T[k] ← false
K09:	k ← k + p	; wyznaczamy pozycję kolejnej wielokrotności, przesuniętą o odstęp p
K10:	i ← i + 1	; indeks następnej liczby w T
K11:	p ← p + 2	; zwiększamy odstęp wielokrotności
K12:	q ← q + (p - 1) shl 1	; wyznaczamy pierwszą wielokrotność
K13:	Jeśli q < m, to idź do K05
K14:	Pisz 2	; pierwsza liczba pierwsza wyprowadzana bezwarunkowo
K15:	Dla i = 0,1,...,m-1 wykonuj krok K16	; przeglądamy T wypisując pozostałe w niej liczby pierwsze
K16:	Jeśli T[i] = true, to pisz 2i + 3
K17:	Zakończ