Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek |
©2017 mgr
Jerzy Wałaszek
|
Definicja pierwiastka funkcjiPierwiastkiem lub miejscem zerowym funkcji
Przykład: Funkcja f(x) = 2x - 4 posiada pierwiastek równy xo = 2, ponieważ:
Funkcja może posiadać więcej niż jeden pierwiastek: Przykład: Funkcja f(x) = x2 - 1 posiada dwa pierwiastki: xo = -1 oraz xo = 1, gdyż:
Funkcja może posiadać nieskończenie wiele pierwiastków: Przykład: Funkcja f(x) = sin(x - 2) posiada pierwiastki dla każdego xo = kπ + 2, gdzie k = 0, ±1, ±2 ...
Graficznie miejsce zerowe funkcji możemy interpretować jako punkt przecięcia osi współrzędnych OX przez wykres funkcji:
Znajdowanie miejsc zerowych ma olbrzymie znaczenie w matematyce, fizyce, astronomii, technice itp. Dlatego już dawno temu matematycy opracowali wiele metod rozwiązywania tego zagadnienia. Zasadniczo istnieją dwa podejścia:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Metoda połowienia - bisekcjiMamy daną funkcję
Gdy funkcja
Wyznaczamy punkt xo
jako środek przedziału
Obliczamy wartość funkcji w punkcie xo.
Sprawdzamy, czy
Jeśli nierówność jest spełniona, to xo
jest poszukiwaną wartością pierwiastka. Zwracamy wynik i kończymy algorytm.
W przeciwnym razie za nowy przedział poszukiwań pierwiastka przyjmujemy tą
połówkę
Algorytm wyznaczania miejsca zerowego metodą bisekcjiWejście:
Wyjście:
xo – pierwiastek funkcji f() lub
informacja, że w przedziale <xa,xb> brak
pierwiastka.
Dane pomocnicze:
Na podstawie powyższego algorytmu napisz odpowiedni program w języku C++. Przykładowa funkcja do testów f(x) = x3(x + sin(x2 - 1) - 1) - 1. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Metoda Fałszywej Prostej - Regula Falsi
Mamy daną funkcję
f(a)
< f(xo)
= 0 < f(b)
lub f(a)
> f(xo)
= 0 > f(b)
Gdy funkcja W języku łacińskim regula falsi oznacza
fałszywą prostą. Ideą tej metody jest założenie, iż
funkcja w coraz mniejszych przedziałach wokół pierwiastka zaczyna przypominać
funkcję liniową. Skoro tak, to przybliżenie pierwiastka otrzymujemy prowadząc
linię prostą (sieczną) z punktów krańcowych przedziału.
Sieczna przecina oś OX
w punkcie Wzór dla
Prostymi równoległymi będzie cięciwa z punktów krańcowych przedziału, oraz ta sama cięciwa przesunięta pionowo w górę o długość odcinka FB. Poniższy rysunek obrazuje otrzymaną sytuację:
Ostatnie przekształcenie ma na celu otrzymanie wzoru o lepszej "zapamiętywalności". Mnożymy mianownik przez (-1), dzięki czemu staje się on spójny z licznikiem ułamka. Sam ułamek zmienia znak na minus. Algorytm regula falsi jest bardzo podobny do opisanego w poprzednim
rozdziale algorytmu bisekcji. Założenia wstępne dla
badanej funkcji w obu algorytmach są identyczne. Różnią się one sposobem
wyznaczania punktu W algorytmie regula falsi jest inaczej. Punk Po wyznaczeniu przybliżonego pierwiastka postępowanie w obu algorytmach jest
w zasadzie takie samo. Sprawdzamy, czy wartość modułu różnicy pomiędzy dwoma
ostatnimi przybliżeniami pierwiastka jest mniejsza od zadanego minimum. Jeśli
tak, obliczenia kończymy zwracając Obliczamy wartość funkcji w punkcie
Algorytm wyznaczania miejsca zerowego metodą regula falsiWejście:
Wyjście:xo – pierwiastek funkcji
f() lub informacja, że w przedziale <xa,xb>
brak pierwiastka.
Dane pomocnicze:
Na podstawie powyższego algorytmu napisz odpowiedni program w języku C++. Przykładowa funkcja do testów f(x) = x3(x + sin(x2 - 1) - 1) - 1. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>. Więcej na temat metod znajdowania miejsc zerowych funkcji znajdziesz tutaj. |
I Liceum Ogólnokształcące |
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe