Matematyka: Logarytmy

 

Czym jest logarytm?

Zrozumienie pojęcia logarytmów wymaga zrozumienia operacji potęgowania. Potęgi całkowite dodatnie można prosto wyrazić za pomocą operacji mnożenia. Na przykład dla liczby 2 otrzymamy:

 

 

Potęgi ujemne wyrażamy przez dzielenia:

 

 

Dopiszmy do tego jeszcze następujące potęgi:

 

 

Powyższe wzory możemy zapisać ogólnie dla liczby a, która jest różna od zera oraz liczby naturalnej n:

 

 

Liczbę a będziemy nazywali podstawą, a liczbę n wykładnikiem potęgi.

Bezpośrednio z powyższych wzorów dostajemy podstawowe własności potęg:

 

 

Mnożenie potęg o tych samych podstawach jest równe potędze tej samej podstawy o wykładniku równym sumie wykładników mnożonych potęg. Brzmi zawile, ale do zapamiętania jest prosty wzór:

 

lub

Z powyższego wynika, że:

 

 

Wprowadźmy teraz wykładniki wymierne. Na przykład:

 

 

Co to za liczba? Załóżmy, że wykładniki wymierne spełniają wzór na mnożenie potęg:

 

 

Jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje inną liczbę? Oczywiście pierwiastek kwadratowy:

 

i analogicznie:

 

Zapiszmy to ogólnie:

 

 

A ile to będzie:

 

 

Postępujemy podobnie jak z pierwiastkiem kwadratowym:

 

 

i ogólnie:

 

A jak policzyć potęgę:

 

 

W taki sam sposób, jak dotychczas. Ułamek w wykładniku rozbijamy na sumę ułamków i wykonujemy odpowiednie działania, pamiętając, że suma w wykładniku odpowiada iloczynowi potęg:

 

 

Zapiszmy to ogólnie:

 

 

Teraz możemy przejść do logarytmów.

Logarytm z liczby x przy podstawie a jest wykładnikiem potęgowym, do którego należy podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę x.

 

 Brzmi zawile, lecz jest bardzo proste (po wyuczeniu się). Na przykład, ile wynosi:

 

 

Zapytajmy inaczej. Do jakiej potęgi należy podnieść 2, aby otrzymać 8?

 

 

Odpowiedź brzmi 3:

 

 

No i obliczyłeś logarytm przy podstawie 2 z liczby 8:

 

 

Podobnie:

 

Zapiszmy ogólnie:

 

 

Dla nabycia wprawy oblicz wartość następujących logarytmów:

 

 

Działania na logarytmach

Logarytmy odkrył szkocki matematyk John Napier w 1614 roku. Chodziło mu głównie o uproszczenie sprowadzenie operacji mnożenia do dodawania. Okazało się, że logarytmy to umożliwiają. Czemu jest równa wartość wyrażenia:

 

 

Zapiszmy to tak:

 

 

Otrzymaliśmy wykładnik d będący sumą wykładników b i c. Jeśli podstawa wynosi a, to wykładnik ten określa potęgę:

 

 

Czyli:

 

 

Wynika z tego prosty wniosek: suma logarytmów dwóch liczb jest równa logarytmowi iloczynu tych liczb.

A czemu jest równa różnica logarytmów:

 

 

Postępujemy podobnie:

 

 

Widzimy zatem, że różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu tych liczb.

Właśnie ten fakt zauważył Napier i wykorzystał do uproszczenia mnożenia i dzielenia. Załóżmy, że mamy policzone tablice logarytmów przy podstawie 2 potęg liczby 2:

 

x log2x x log2x x log2x x log2x
2 1 512 9 131072 17 33554432 25
4 2 1024 10 262144 18 67108864 26
8 3 2048 11 524288 19 134217728 27
16 4 4096 12 1048576 20 268435456 28
32 5 8192 13 2097152 21 536870912 29
64 6 16384 14 4194304 22 1073741824 30
128 7 32768 15 8388608 23 2147483648 31
256 8 65536 16 16777216 24 4294967296 32

 

Chcemy policzyć iloczyn 8192 x 131072. Z tablicy szybko odczytujemy:

log28192 = 13
log2131072=17

Dodajemy te logarytmy:

13+17=30

W tablicy szukamy logarytmu o wartości 30 i otrzymujemy, że jest to logarytm liczby 1073741824. Liczba ta jest iloczynem dwóch pierwszych liczb, tzn:

8192 x 131072 = 1073741824

 

Ze wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów wynikają ich własności:

 

 

Wyprowadźmy jeszcze jeden ważny wzór, który pozwoli nam przeliczać logarytmy z jednej podstawy na inną. Problem jest następujący:

 

Znamy wartość logarytmu przy podstawie a z liczby x:

 

 

Chcemy policzyć logarytm z liczby x przy innej podstawie:

 

 

Jak to zrobić? Zgodnie z definicją logarytmu mamy:

 

zatem dalej:

 

Aby otrzymać wartość logarytmu z x przy podstawie b, należy logarytm z x przy podstawie a podzielić przez logarytm przy podstawie a z b.

Rozwiążmy teraz kilka zadań z logarytmami. W rozwiązaniach zawsze wykorzystujemy poznane wzory!

 

1. Zapisz w postaci logarytmicznej równanie:

 

 

Obustronnie logarytmujemy przy podstawie 2:

 

 

Upraszczamy wyrażenie po lewej stronie i zamieniamy stronami:

 

 

2. Rozwiąż równanie:

 

 

Wykorzystujemy definicję logarytmu:

 

 

3. Oblicz:

 

 

Obliczamy:

 

 

4. Oblicz:

 

 

Obliczamy:

 

 

5. Rozwiń wyrażenie algebraiczne:

 

 

Wykorzystując poznane własności logarytmów, piszemy:

 

 

6. Rozwiń wyrażenie algebraiczne:

 

 

Tutaj również korzystamy z własności logarytmów:

 

 

7. Sprowadź wyrażenie algebraiczne do pojedynczego algorytmu:

 

 

Wykorzystujemy własności logarytmów i piszemy:

 

 

8. Oblicz wartość logarytmu:

 

 

Wykorzystujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu:

 

 

9. Rozwiąż równanie:

 

 

Piszemy:

 

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.