Koło informatyczne

Przyspieszony kurs języka C++

 

Liczby całkowite w systemie dwójkowym

Współczesne komputery przetwarzają bity. Bit może przyjąć tylko jeden z dwóch stanów. Stany te na papierze oznaczamy cyframi 0 i 1. Wewnątrz komputera bity są pamiętane jako poziomy napięć, np. 0,4V i 5V. Powodem wyboru bitów były względy ekonomiczne – układy elektroniczne przetwarzające tylko dwa poziomy napięć są prostsze od układów, gdzie tych poziomów byłoby więcej. Rośnie również niezawodność i odporność na błędy.

Powstaje pytanie, jak za pomocą bitów można przedstawiać liczby? Odpowiedzią są liczbowe systemy pozycyjne. Ludzie już od dawna używają takich systemów. W systemie dziesiętnym mamy 10 cyfr:

 

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 

Za pomocą tych cyfr zapisujemy liczby. W systemie pozycyjnym istotne jest położenie cyfry w zapisie liczby. Każda pozycja posiada tzw. wagę. W systemie dziesiętnym wagi pozycji są kolejnymi potęgami liczby 10, którą nazywamy podstawą systemu:

 

 

Cyfra określa ilość wag danej pozycji, która występuje w liczbie. W powyższym przykładzie nasza liczba składa się z 7 tysięcy, 5 setek, 3 dziesiątek i 6 jedności (zwróć uwagę, że pozycje numerujemy od końca zapisu liczby, a wagi tych pozycji są równe podstawie systemu podniesionej do potęgi numeru pozycji). Jest to dla wszystkich oczywiste. Jeśli jednak zmienimy podstawę systemu, to ta oczywistość zniknie, ponieważ zapis liczby nie będzie odpowiadał jej wartości dziesiętnej. Na przykład weźmy liczbę piątkową. W systemie piątkowym mamy 5 cyfr:

 

{0,1,2,3,4}

 

Zapis pewnej liczby wygląda następująco:

 

 

Problem jest taki, że chociaż liczba wygląda znajomo, to jednak nie ma wartości trzy tysiące sto czterdzieści dwa, ponieważ wagi jej pozycji są teraz potęgami liczby 5. W liczbie tej mamy 3 sto dwudziestki piątki, 1 dwudziestkę piątkę, 4 piątki oraz 2 jedynki. Zatem jej wartość w systemie dziesiętnym jest równa:

 

3 x 125 + 1 x 25 + 4 x 5 + 2 x 1 = 375 + 25 + 20 + 2 = 422

 

Wynika z tego prosty wniosek. Jeśli operujemy na systemach liczbowych o różnych podstawach, to zawsze powinniśmy oznaczyć, w którym systemie dana liczba jest zapisana. Umówmy się, że liczby dziesiętne, jako standardowe, nie będziemy specjalnie oznaczać. W myśl tej konwencji mamy:

 

31425 = 422

 

Zapamiętaj ważną rzecz:

 

Wartość liczby pozycyjnej jest równia sumie iloczynów cyfr przez wagi ich pozycji. Waga ostatniej pozycji (dla liczby całkowitej) jest zawsze równa 1. Wagi kolejnych pozostałych pozycji można prosto wyliczyć, mnożąc poprzednią wagę przez podstawę systemu. Na przykład dla liczby szóstkowej 520136:
6x216 6x36 6x6 1x6 1
1296 216 36 6 1
5 2 0 1 3

Wartość tej liczby jest równa:

5 x 1296 + 2 x 216 + 1 x 6 + 3 = 6480 + 432 + 6 + 3 = 6921

520136 = 6921

 

Najmniejszą podstawą dla systemów pozycyjnych jest liczba 2. System o takiej podstawie nazywamy systemem dwójkowym lub systemem binarnym (co na jedno wychodzi, gdyż przymiotnik binarny jest tylko "mądrzejszą" wersją zupełnie dobrego przymiotnika dwójkowy). System posiada tylko dwie cyfry, które idealnie można zastąpić bitami (bit = binary digit, czyli cyfra dwójkowa):

 

{0,1}

 

Zapis liczby wygląda następująco:

 

 

W systemie dwójkowym wartość liczby oblicza się szczególnie prosto, ponieważ mamy tylko iloczyny cyfr 0 i 1. Jeśli cyfra ma wartość 0, to jej wagi brak w liczbie. Bierzemy zatem tylko wagi pozycji, na których stoją cyfry 1 i sumujemy je:

 

8 + 2 + 1 = 11

10112 = 11

 

Każdy informatyk powinien znać pierwsze 16 liczb dwójkowych. Naucz się ich na pamięć:

 

Wartość
dziesiętna
Liczba
dwójkowa
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111

 

Dla wprawy oblicz wartość liczb dwójkowych:

 

1110002 = ?
1010102 = ?
1011012 = ?

 

Obliczanie wartości dziesiętnej liczb dwójkowych jest proste. Jak jednak przeliczyć liczbę dziesiętną na dwójkową? Istnieje prosty algorytm (przepis, sposób postępowania), który rozwiązuje ten problem.

 

Jeśli liczba jest równa zero, to wynikiem jest zero
inaczej dopóki liczba nie jest równa zero, dzielimy ją przez 2 i za kolejną od końca cyfrę bierzemy resztę z tego dzielenia.

 

Przeliczmy wg tego algorytmu liczbę 89 na zapis dwójkowy:

 

89 : 2 = 44 i reszta 1
44 : 2 = 22 i reszta 0
22 : 2 = 11 i reszta 0
11 : 2 =  5 i reszta 1
 5 : 2 =  2 i reszta 1
 2 : 2 =  1 i reszta 0
 1 : 2 =  0 i reszta 1
, kończymy, bo liczba jest równa 0.

 

89 = 10110012

Dla wprawy przelicz na system dwójkowy liczby dziesiętne 100 i 1000.

 

Bardzo ważną rzeczą jest zakres liczb dwójkowych. Odpowiedzmy sobie na pytanie, jakie liczby da się przedstawić za pomocą n bitów. Najmniejszą liczbą będzie oczywiście 0:

 

000...000
n bitów
= 0

 

A jaka będzie największa? Największa będzie wtedy, gdy wszystkie cyfry przyjmą wartość 1 (dlaczego?). Zapiszmy:

 

Liczba
bitów
Liczba
dwójkowa
Wartość
dziesiętna
1 1 1
2 11 3
3 111 7
4 1111 15
5 11111 31
6 111111 63
... ... ...

 

Cała trudność sprowadza się do zauważenia faktu, iż otrzymany ciąg wartości dziesiętnych da się zapisać następująco:

 

Liczba
bitów
Liczba
dwójkowa
Wartość
dziesiętna
Ciąg
1 1 1 2 - 1 21 - 1
2 11 3 4 - 1 22 - 1
3 111 7 8 - 1 23 - 1
4 1111 15 16 - 1 24 - 1
5 11111 31 32 - 1 25 - 1
6 111111 63 64 - 1 26 - 1
... ... ... ...  
n 111...111     2n - 1

 

Zatem: przy pomocy n bitów możemy zapisać liczby z zakresu od 0 do 2n - 1. Zapamiętaj ten fakt.

Taki system zapisu liczb nosi nazwę naturalnego kodu binarnego i jest oznaczany skrótem NBC (ang. Natural Binary Code). Kod NBC pozwala kodować tylko liczby nieujemne.

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.