Liczby pierwsze

Liczba pierwsza (ang. primary number) jest liczbą naturalną, która posiada dokładnie dwa różne podzielniki - 1 i siebie samą.

Liczba 1 nie jest pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez 1, a nie posiada drugiego podzielnika różnego od 1. Przykłady liczb pierwszych:

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ...

 

Liczby pierwsze mają ogromne znaczenie we współczesnej informatyce. Na nich opierają się zaawansowane systemy szyfrujące używane przez banki, służby państwowe i wojsko. Dlatego umiejętność sprawdzania pierwszości liczby oraz generacji liczb pierwszych jest podstawową umiejętnością każdego informatyka.

 

Dowód Euklidesa na nieskończoność zbioru liczb pierwszych

Zbiór liczb pierwszych jest zbiorem nieskończonym. Oznacza to, że dla dowolnie dużej liczby naturalnej zawsze znajdziemy liczbę pierwszą, która jest od niej większa. Nieskończoność tego zbioru udowodnił grecki matematyk Euklides. Zastosował on dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych P jest zbiorem skończonym i zawiera n różnych liczb pierwszych:

 

 

Euklides tworzy liczbę E (zwaną liczbą Euklidesa) wg następującego wzoru:

 

 

Liczby E nie dzieli żadna z liczb należących do zbioru P - zawsze zostanie reszta 1:

 

 

Dzieje się tak dlatego, że liczba E jest sumą dwóch składników - iloczynu wszystkich liczb pierwszych ze zbioru P oraz 1. Iloczyn jest podzielny przez swój dowolny składnik. Wynikiem jest iloczyn liczb ze zbioru P, w którym brak tego składnika. Natomiast 1 nie dzieli się przez żadną z tych liczb i zostaje jako reszta.

Wynikają z tego dwa wnioski:

  1. Liczba E nie jest podzielna przez żadną z liczb różną od 1 i siebie samej - zatem jest nową liczbą pierwszą, której nie ma w zbiorze P.
  2. Liczba E jest podzielna przez liczbę pierwszą, której nie ma w zbiorze P, ponieważ te liczby E nie dzielą.

Trzeciej możliwości nie ma. W obu możliwych przypadkach dostajemy nową liczbę pierwszą, której zbiór P nie zawiera. Przeczy to założeniu, że zbiór P zawierał wszystkie liczby pierwsze. Skoro tak, to zbiór liczb pierwszych nie może być zbiorem skończonym.

 

Generacja liczb pierwszych przez sprawdzanie podzielności

Podana wyżej definicja liczby pierwszej jest dla nas niewygodna. Zapiszmy w postacie równoważnej:

 

Liczba pierwsza p, p > 2, jest liczbą niepodzielną przez żadną z liczb należących do przedziału od 2 do p-1.

 

Ta druga definicja daje nam wskazówkę, jak szukać liczb pierwszych. Dla danej liczby p wystarczy sprawdzić, czy dzieli się bez reszty przez jakąś liczbę z przedziału od 2 do p-1. Jeśli tak, to p nie jest liczbą pierwszą. Jeśli żadna z liczb z przedziału od 2 do p-1 nie dzieli liczby p, p jest liczba pierwszą.

 

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą

Wejście:

p - sprawdzana liczba naturalna

Wyjście:

t = true, liczba p jest liczbą pierwszą
t = false, liczba p nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

i - kolejne dzielniki naturalne dla liczby p

 

K01: t ← true ; zakładamy sukces
K02: Dla i = 2,3,...,p-1: wykonuj K03 ; dzielniki
K03:    Jeśli p dzieli się przez i, to
       t ← false
       Idź do K04
; sprawdzamy podzielność i jeśli występuje,
; to zerujemy t i kończymy
K04: Zakończ  


 

Na podstawie powyższego algorytmu napisz program w języku C++, który wygeneruje n kolejnych liczb pierwszych.

 

Ulepszenie algorytmu generacji liczb pierwszych przez sprawdzanie podzielności

Podany powyżej algorytm, chociaż poprawnie działa, nie jest zbytnio efektywny. Aby stwierdzić, czy liczba p jest pierwsza, musi on wykonać p-3 dzieleń próbnych. Jeśli p jest duże, to liczba dzieleń jest równie duża. Wykonanie algorytmu zajmuje długi czas. Zastanówmy się, czy nie możemy go ulepszyć.

Jeśli liczba p jest liczbą złożoną (a zatem nie jest liczbą pierwszą), to można ją zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych a i b, które obie są różne od liczby p:

 

 

Z tych dwóch liczb a i b wystarczy znaleźć tylko jedną, aby wykluczyć pierwszość liczby p. Mamy dwa możliwe przypadki:

  1. Oba dzielniki są równe:

  1. Oba dzielniki są różne:

 

Widzimy, że w obu przypadkach jeden z dzielników występuje w przedziale od 2 do pierwiastka z p. Nie może się tak zdarzyć, że oba dzielniki a i b są większe od pierwiastka z p, gdyż wtedy ich iloczyn byłby większy od p. Zatem w celu znalezienia możliwego dzielnika wystarczy przeszukać przedział od 2 do pierwiastka z p. To bardzo duże usprawnienie. Poprzednio, aby sprawdzić, czy liczba p równa w przybliżeniu milion jest liczbą pierwszą, należało wykonać około milion dzieleń. Teraz tych dzieleń jest około tysiąc - czyli tysiąc razy mniej. Im większa liczba p, tym zysk mamy większy. Jeśli same liczby a i b są złożone, to nic nie szkodzi - wtedy ich dzielniki są od nich mniejsze i tym bardziej wpadają w nasz przedział.

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą - wersja ulepszona nr 1

Wejście:

p - sprawdzana liczba naturalna

Wyjście:

t = true, liczba p jest liczbą pierwszą
t = false, liczba p nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

g - pierwiastek całkowity z p
i - kolejne dzielniki naturalne dla liczby p

 

K01: t ← true ; zakładamy sukces
K02: g ← |p| ; obliczamy pierwiastek całkowity z p
K03: Dla i = 2,3,...,g: wykonuj K04 ; dzielniki
K04:    Jeśli p dzieli się przez i, to
       t ← false
       Idź do K05
; sprawdzamy podzielność i jeśli występuje,
; to zerujemy t i kończymy
K05: Zakończ  

 

Kolejne przyspieszenie pracy algorytmu uzyskamy ograniczając dalej podzielniki. Na początku algorytmu sprawdzamy, czy badana liczba jest podzielna przez 2. Jeśli tak, to nie jest pierwsza. Jeśli nie, to możemy dalej wyeliminować podzielniki parzyste. Zredukuje nam to ich liczbę o połowę. Badane liczby p muszą być większe od 2. Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą podzielną przez 2.

 

Algorytm sprawdzania, czy liczba p jest liczbą pierwszą - wersja ulepszona nr 2

Wejście:

p - sprawdzana liczba naturalna, p > 2

Wyjście:

t = true, liczba p jest liczbą pierwszą
t = false, liczba p nie jest liczbą pierwszą

Zmienne pomocnicze:

g - pierwiastek całkowity z p
i - kolejne dzielniki nieparzyste dla liczby p

 

K01: t ← true ; zakładamy sukces
K02: Jeśli p = 2, to zakończ ; jedyna liczba pierwsza parzysta
K03: Jeśli p dzieli się przez 2, to
    t ← false
    Zakończ
; eliminujemy pozostałe liczby parzyste
K04: g ← |p| ; granica podzielników
K05: Dla i = 3,5,7...,g: wykonuj K06 ; podzielniki nieparzyste
K06:    Jeśli p dzieli się przez i, to
       t ← false
       Idź do K05
 
K07: Zakończ  

 

Kolejne ulepszenie dotyczy nie samego algorytmu sprawdzania pierwszości liczby, lecz programu ich generacji. Wszystkie liczby pierwsze oprócz 2 i 3 są postaci:

 

 

Wyjaśnienie tego faktu jest dosyć proste. Pozostałe liczby są postaci:

 

 

Są one podzielne przez 2 lub 3. Zatem nie mogą być liczbami pierwszymi. Tak wygenerowane liczby sprawdzamy podzielnikami nieparzystymi począwszy od 5 do pierwiastka z p. Dzięki temu rozwiązaniu zmniejszymy do 1/3 liczbę testowanych na pierwszość liczb.

 

Algorytm generacji n liczb pierwszych

Wejście:

n - ilość liczb pierwszych do wygenerowania

Wyjście:

kolejne i liczb pierwszych

Zmienne pomocnicze:

lp - zlicza wygenerowane liczby pierwsze
p
- przechowuje testowaną liczbę
g
- pierwiastek całkowity z p
i - kolejne dzielniki nieparzyste dla liczby p
k,d
- współczynniki do generacji podzielników
t - zmienna decyzyjna

 

K01: Czytaj n ; odczytujemy ilość liczb pierwszych, które mamy wygenerować
K02: lp ← 0 ; zerujemy licznik liczb pierwszych
K03: k ← 1 ; ustawiamy współczynniki
K04: d ← -1  
K05: Dopóki lp < n: wykonuj K06...K14 ; w pętli generujemy kolejne liczby pierwsze
K06:     Jeśli lp < 2, to
        Pisz
2 + i
        lplp + 1
        Kontynuuj pętlę
; początkowe dwie liczby są dane bezpośrednio
K07:     p ← 6k + d ; tworzymy kandydata na liczbę pierwszą
K08:     d ← - d ; przygotowujemy współczynniki dla następnej liczby
K09:     Jeśli d = -1, to kk + 1  
K10:     t ← true ; zakładamy, że p jest pierwsze
K11:     g ← |p| ; wyznaczamy górny kres przedziału podzielników
K12:     Dla i = 5,7,9,...,g: wykonuj K13 ; w pętli sprawdzamy, czy p jest faktycznie pierwsze
K13:         Jeśli p dzieli się przez i, to
            t ← false
            Idź do K14
; sprawdzamy podzielność i jeśli występuje,
; to zerujemy t
; i przerywamy pętlę
K14:     Jeśli t = true, to
        Pisz
p
        lplp + 1
; jeśli p jest pierwsze,
; to wypisujemy je
; i zwiększamy licznik lp
K15: Zakończ  

 

Ostatnia modyfikacja dotyczy podzielników. Skoro tworzymy liczby postaci 6k±1, to takie liczby nie dzielą się przez ani przez 2, ani przez 3. Zatem podzielniki również możemy tworzyć w podobny sposób, jak tworzymy liczby p - ze wzoru 6k'±1, gdzie k' jest kolejno równe 1,2,... Oczywiście musi to być inna zmienna od k wykorzystywanego do tworzenia p. Zmodyfikuj odpowiednio program.



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.