Zabezpieczanie transmisji przed błędami

Kody detekcyjne

W trakcie przesyłania sygnału przez ośrodek transmisyjny mogą pojawić się różne zakłócenia, które spowodują deformację sygnału. Zakłócenia wywoływane są na przykład przez wyładowania atmosferyczne, maszyny elektryczne, silniki spalinowe, promieniowanie kosmiczne oraz wiele innych czynników. Nie zawsze da się je wyeliminować. Jeśli zakłócony sygnał dotrze do odbiornika, to może być nieprawidłowo odczytany. W transmisji cyfrowej błąd (przekłamanie) polega na odczycie bitu o stanie przeciwnym w stosunku do nadanego:

 

nadano 1 ... odebrano 0
nadano 0 ... odebrano 1

 

Błąd może być pojedynczy lub seryjny - dotyczący grupy kolejnych bitów. Ochrona transmisji przed błędami polega na odpowiednim kodowaniu przesyłanej informacji. Aby zrozumieć problem, przyjrzyjmy się poniższemu schematowi:

 

 

Nadajnik wysyła informację cyfrową 1011 (cokolwiek by ona znaczyła). W trakcie przesyłu tej informacji przez kanał transmisyjny pojawia się zakłócenie, które powoduje, iż odbiornik odbiera informację 1001. Porównując informację nadaną i odebraną od razu zauważymy różnicę na przedostatniej pozycji, gdzie zamiast bitu 1 pojawił się bit 0. Doszło do przekłamania przesyłanej informacji. Ponieważ informacja nie była w żaden sposób zabezpieczona, to odbiornik nie ma pojęcia, iż odebrał dane z przekłamaniem. Przecież nadajnik mógł wysłać dane 1001.

Dwukrotne przesyłanie informacji

 

Pierwszym narzucającym się rozwiązaniem tego problemu jest przesyłanie informacji dwukrotnie. Ponieważ odbiornik "wie", iż informacja odebrana podwójnie, powinna być taka sama, może ją sobie porównać. Na przedostatniej pozycji jest różnica. Teraz odbiornik wie już, iż odebrał dane z błędem. Kanałem zwrotnym może poprosić nadajnik o powtórzenie ostatniej transmisji danych.

Zwróć uwagę, iż w tym systemie nie wiemy, które z dwóch odebranych słówek jest poprawne, a które zawiera błąd. Sama różnica nie wystarcza do odtworzenia właściwej informacji. Dlatego taki kod nazywamy kodem wykrywającym błędy - kodem detekcyjnym (ang. EDC - Error Detection Code). Prawdopodobieństwo, iż błąd pojawi się w obu przekazach na tej samej pozycji (wtedy słówka będą oba błędne, ale takie same, co spowoduje ich akceptację przez odbiornik), jest naprawdę bardzo małe.

 

Bit parzystości

W praktyce nikt o zdrowych zmysłach nie zgodziłby się na opisany powyżej system zabezpieczania transmisji przed błędami. Powodem jest dwukrotny spadek przepustowości (ilości przesyłanej informacji w jednostce czasu) kanału transmisyjnego - ponieważ każdą informację musimy przesyłać dwa razy. Jeśli błędy pojawiają się w kanale transmisyjnym bardzo rzadko, stosuje się bardziej oszczędny system kodowania przesyłanej informacji, zwany transmisją z bitem parzystości (ang. parity checking).

Polega to na tym, iż do przesyłanego słówka dodajemy jeden bit o takim stanie, aby liczba wszystkich bitów o stanie 1 w tak powiększonym słowie informacyjnym była parzysta (czyli podzielna przez 2). Załóżmy, iż przesyłamy słówka 4-bitowe. Poniżej przedstawiamy kilka przykładów rozszerzania takich słówek do 5-bitowych z bitem parzystości. Umówmy się, iż dodatkowy bit dodajemy na początku nowego słowa:

 

słówko
informacyjne
słówko
z bitem
parzystości
0000 00000
0001 10001
0011 00011
0110 00110
1011 11011
1110 11110
1111 01111

 

Co nam to dało? Otóż dużo. Odbiornik wie teraz, iż zawsze w odebranym słowie liczba bitów o stanie 1 powinna być parzysta. Może to sobie sprawdzić. Jeśli otrzyma liczbę nieparzystą, to znaczy, iż któryś z bitów został odebrany z przekłamaniem:

Wynika z tego, iż pojedynczy błąd powoduje utratę parzystości w odebranym słówku danych. Również nieparzysta liczba błędów (1,3,5,...) wywoła taką utratę parzystości. Natomiast błędy parzyste (na 2, 4, 6 ... bitach) przejdą niezauważone, ponieważ nie powodują one utraty parzystości (spróbuj to udowodnić). Ponieważ jednak system ten stosuje się w przypadku, gdy błędy pojawiają się bardzo rzadko, to możemy śmiało założyć, iż wystąpienie błędu podwójnego (parzystego) jest prawie niemożliwe.

Zabezpieczenie transmisji bitem parzystości jest już bardziej ekonomiczne od dwukrotnego przesyłania każdego słowa informacyjnego. Spadek szybkości transmisji jest tym mniejszy, im więcej bitów informacyjnym mają przesyłane słowa danych.

 

Poniższy program wyznacza bit parzystości dla danej 8-mio bitowej.

 

// Bit parzystości
// (C)2010 I LO w Tarnowie
//------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    unsigned v,m,lj;

    cin >> v;

    lj = 0;

    for(m = 0x80; m; m >>= 1)
        if(v & m)
        {
          cout << 1;
          lj++;  
        }
        else cout << 0;

    cout << " " << (lj & 1) << endl;

    return 0;
}

 

Suma kontrolna

Kolejnym sposobem zabezpieczania transmisji przed błędami jest tzw. suma kontrolna (ang. checksum). Polega ona na tym, iż kolejno przesyłane porcje danych traktujemy jak liczby binarne. Sumujemy je ograniczając wynik do określonej liczby bitów (np. 8, 16, 32 lub 64). Otrzymaną w ten sposób sumę dołączamy na koniec przesłanego bloku informacji. Odbiornik również tworzy sumę kontrolną odbieranych danych. Następnie sprawdza swoją sumę z sumą odczytaną na końcu transmisji bloku danych. Jeśli sumy się różnią, to znaczy, iż w odebranym bloku wystąpił błąd.

Innym, bardzo podobnym sposobem, jest potraktowanie przesyłanych danych jako liczb ze znakiem. Otrzymaną sumę kontrolną neguje się arytmetycznie (wyznacza się wartość o przeciwnym znaku) i dołącza na końcu przesyłanego bloku danych. Odbiornik po prostu sumuje wszystkie odebrane dane, łącznie z sumą kontrolną. Jeśli w wyniku otrzyma wartość różną od zera, to znaczy, iż w odebranym bloku są błędy.

Poniższy program oblicza 8-bitową sumę kontrolną wg sposobu 2.

 

// Prosta suma kontrolna
// (C)2010 I LO w Tarnowie
//------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  char s[129];

  cin.getline(s,128);

  signed char suma = 0;

  for(int i = 0; s[i]; i++) suma += s[i];

  suma = -suma;

  cout << (int) suma << endl;

  return 0;
}
abc ABC
-12
ABC abc
-12
cba ACB
-12
 

Przyjrzyj się dokładnie wynikom działania programu dla różnych danych wejściowych. Otóż okazuje się, iż prosta suma kontrolna nie wykrywa zmiany kolejności danych. Nie wykryje również błędów polegających na zwiększeniu o pewną wartość jednego słówka kodowego a innego zmniejszeniu o tą samą wartość. Jeśli z transmisji znikną dane o wartości 0, to nie zostanie to wykryte! Także dodanie dowolnej ilości danych 0 nie zmieni sumy kontrolnej. Zatem suma kontrolna jest pewnym zabezpieczeniem transmisji przed błędami, lecz posiada wiele wad.

 

Adler-32

Aby usunąć niedogodności zwykłej sumy kontrolnej, wymyślono wiele efektywnych algorytmów wyznaczania złożonych sum kontrolnych, które są czułe na wszelkie zmiany danych w zabezpieczanym bloku. Adler-32 jest jednym z algorytmów wyznaczania takiej złożonej sumy kontrolnej. Został on wymyślony przez Marka Adlera.

Algorytm Adler-32 polega na wyliczaniu dwóch sum kontrolnych, które nazwiemy A i B. Obie sumy są 16-bitowe. Suma A powstaje przez zsumowanie modulo 65521 danych w bloku - suma ma początkowo wartość 1. Suma B jest sumą modulo 65521 kolejnych wartości sumy A. Na końcu sumy A i B łączy się w jedną sumę kontrolną 32 bitową - B zajmuje starsze 16 bitów, A zajmuje młodsze.

Użyta do operacji modulo liczba 65521 jest największą liczbą pierwszą mniejszą od 216 = 65536.

Matematycznie rachunki wyglądają następująco:

 

D = {d1 d2 d3 ... dn-1 dn} - blok danych.
A1 = (1 + d1) mod 65521
B1 = (0 + A1) mod 65521 = (1+d1) mod 65521

A2 = (A1  + d2) mod 65521 = (1+d1+d2) mod 65521
B2 = (B1 + A2) mod 65521 = ((1+d1) + (1+d1+d2)) mod 65521

A3 = (A2 + d3) mod 65521 = (1+ d1+d2+d3) mod 65521
B3 = (B2 + A3) mod 65521 = ((1+d1) + (1+d1+d2) + (1+d1+d2+d3)) mod 65521

...

An = (An-1 + dn) mod 65521 = (1+d1+d2+d3+ ... +dn-1+dn) mod 65521
Bn = (Bn-1 + An) mod 65521 = ((1+d1) + (1+d1+d2) + (1+d1+d2+d3) +...+ (1+d1+d2+d3+ ... +dn-1) + (1+d1+d2+d3+...+dn-1+dn)) mod 65521
Bn = (nd1 + (n-1)d2 + (n-2)d3 + ... + 2dn-1 + dn + n) mod 65521

 

Po wyznaczeniu końcowych sum kontrolnych An i Bn sumę Adler-32 tworzymy następująco:

 

SAdler-32 = 216 x Bn + An = 65536 x Bn + An.

 

Zamiast mnożenia możemy wykorzystać operację przesunięcia bitów Bn o 16 pozycji w lewo. Dodawanie można zrealizować za pomocą alternatywy bitowej. W efekcie otrzymujemy 32 bitową sumę kontrolną, która jest już czuła na:

Poniżej przedstawiamy prosty program wyliczający sumę kontrolną Adler-32:

 

// Suma kontrolna Adler-32
// (C)2010 I LO w Tarnowie
//------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  char s[129];

  cin.getline(s,128);

  int A = 1;
  int B = 0;

  for(int i = 0; s[i]; i++)
  {
    A = (A + (unsigned)s[i]) % 65521;
    B = (B + A) % 65521;
  }

  unsigned int SAdler32 = (B << 16) | A;

  cout << SAdler32 << endl;

  return 0;
}
abc ABC
150143501
ABC abc
124977677
cba ACB
150471181


 

W przypadku sumy kontrolnej Adler-32 dostajemy różne wartości przy przestawieniu danych. Zatem jest ona dużo lepsza od prostej sumy kontrolnej.

 

Suma kontrolna Fletchera

Jest to bardzo podobny algorytm do sumy kontrolnej Adler-32. Różnica polega na zastąpieniu operacji modulo 65521 operacją modulo 65535 (jest to wartość 16-bitowa, w której wszystkie 16 bitów znajduje się w stanie 1). Sumy początkowe startują od wartości 65535.

Poniżej przedstawiamy przykładowy program wyliczający sumę kontrolną Fletchera.

 

// Suma kontrolna Fletchera
// (C)2010 I LO w Tarnowie
//------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  char s[129];
  unsigned A = 65535, B = 65535;

  cin.getline(s,128);

  for(int i = 0; s[i]; i++)
  {
    A += (unsigned)s[i];
    B += A;
  }

  A %= 65535;
  B %= 65535;

  unsigned SFletcher = (B << 16) | A;

  cout << SFletcher << endl;

  return 0;
}
abc ABC
149684748
ABC abc
124518924
cba ACB
150012428
 

Sumy kontrolne pozwalają zabezpieczyć transmisję przed ewentualnymi błędami. Odbiornik ma możliwość sprawdzenia, czy odebrał poprawne dane. Jeśli tak, przekazuje je komputerowi odbiorczemu. Jeśli nie, kanałem zwrotnym prosi nadajnik o powtórzenie ostatniego bloku danych. Wynika stąd, iż kody detekcyjne można stosować tylko w przypadku tzw. transmisji z potwierdzeniem.

Jeśli nie można powtórzyć transmisji informacji (np. olbrzymia odległość przekazu - próbniki kosmiczne) lub nic to nie daje (np. uszkodzony nośnik CD), stosowanie kodów detekcyjnych nie ma większego sensu - w takich przypadkach stosuje się bardziej zaawansowaną ochronę transmisji, czyli kody korekcyjne (ang. ECC - Error Correction Code), które nie tylko wykrywają błędy w odebranym przekazie, ale często potrafią je naprawić.

Nie wyczerpaliśmy tematyki kodów detekcyjnych. Zainteresowanym czytelnikom proponujemy poszukanie w Internecie informacji o cyklicznej kontroli nadmiarowości (ang. CRC - Cyclic Redundancy Check). Dział ten pominęliśmy z uwagi na zaawansowaną matematykę binarną (wyznaczanie reszty z dzielenia przez wielomiany), która jest wykorzystywana. Kody CRC wymagają w sumie nowego artykułu i wykraczają znacznie poza program szkoły średniej.


Kody korekcyjne

Kod korekcyjny (ang. ECC - Error Correction Code) ma za zadanie odtworzenie, naprawę informacji w przypadku wystąpienia błędu (lub błędów) spowodowanych zakłóceniami sygnału w kanale transmisyjnym. Kody ECC stosujemy zwykle tam, gdzie:

  • powtórzenie transmisji jest niemożliwe, np. odbiornik nie ma łączności z nadajnikiem. Jako przykład można podać nadajniki strumieniowe (telewizja cyfrowa, radio cyfrowe). Jeśli wystąpią zakłócenia dla pewnej grupy odbiorników, to będą one musiały same poradzić sobie z tym problemem.
  • powtórzenie transmisji jest utrudnione, np. komunikacja z próbnikiem kosmicznym znajdującym się w dużej odległości od Ziemi. Teoretycznie transmisję można powtórzyć, lecz może to trwać kilka godzin i nie ma pewności, iż powtórzony przekaz będzie bezbłędny z uwagi na częste zakłócenia - promieniowanie słoneczne i kosmiczne..
  • powtórzenie transmisji nie usuwa błędu, np. zarysowany nośnik CD lub DVD. Powtórne odtworzenie ścieżki nic nie daje, ponieważ zawsze wystąpi ubytek odczytanych danych.

Potrójne przesyłanie danych

Najprymitywniejszym kodem ECC jest po prostu trzykrotne przesyłanie każdego bitu danych. Jeśli w trakcie transmisji nastąpi przekłamanie jednego bitu, to dwa pozostałe pozwolą odtworzyć właściwy bit danych.

 

Nadajnik   Kanał
transmisyjny
  Odbiornik
1 ... 111 ... 011 ... 0111
0 ... 000 ... 001 ... 001 → 0
1 ... 111 ... 101 ... 1011
1 ... 111 ... 110 ... 110 → 1


 

W powyższym przykładzie występuje błąd w trakcie każdej transmisji trójek bitów. Dlatego po stronie odbiornika odebrane trójki zawierają różne bity. Za bit nadany odbiornik przyjmuje bit powtarzający się najczęściej. Oczywiście system ten zawiedzie, gdy przekłamane zostaną dwa bity w trójce.
 

Kod Hamminga

Potrójne przesyłanie danych nie jest stosowane w praktyce - przepustowość kanału transmisyjnego spada trzykrotnie, na co nikt nie mógłby sobie pozwolić ze względów ekonomicznych. Jeśli błędy pojawiają się rzadko w kanale transmisyjnym, to przesyłaną informację można zabezpieczyć kodem Hamminga. Kod ten, wynaleziony przez Richarda Hamminga w 1950 roku, pozwala naprawić pojedyncze przekłamania bitów w odebranym słowie binarnym. Poniżej przedstawiamy konstrukcję słówek kodu Hamminga dla wiadomości 4-bitowych.

Na początek będzie nam potrzebna tablica liczb binarnych o wartościach od 0 do 7:

 

dziesiętnie binarnie
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

 

Słówko danych składa się z 4 bitów b4b3b2b1. Bity te umieszczamy w słówku kodu Hamminga w sposób następujący:

 

Numer pozycji : 7 6 5 4 3 2 1
Słowo kodu Hamminga: b4 b3 b2 x4 b1 x2 x1


 

Pozycje o numerach będących kolejnymi potęgami liczby 2 (1, 2, 4, 8, 16, ...) są tzw. pozycjami kontrolnymi. Oznaczyliśmy je literką x. Pozycje kontrolne musimy obliczyć na podstawie słowa danych. Zróbmy to na konkretnym przykładzie. Niech nasze słowo informacyjne ma wartość:

 

b4b3b2b1 = 1011

 

Bity informacyjne wpisujemy na odpowiednie pozycje w słowie kodu Hamminga:

 

Numer pozycji : 7 6 5 4 3 2 1
Słowo kodu Hamminga: 1 0 1 x4 1 x2 x1

 

Zapiszmy wszystkie numery pozycji, na których występują bity o stanie 1. Są to pozycje 7, 5 i 3. Wykorzystując tabelkę konwersji dziesiętno-dwójkowej zapiszmy wyznaczone numery pozycji binarnie: 7 = 111, 5 = 101 i 3 = 011. Teraz otrzymane liczby binarne wpisujemy do poniższej tabelki:

 

x4 x2 x1
1 1 1
1 0 1
0 1 1

 

Aby wyznaczyć kolejne pozycje kontrolne x4, x2 i x1, pionowo w kolumnach uzupełniamy bity bitem parzystości (w danej kolumnie liczba bitów 1 musi być parzysta). Otrzymane w ten sposób bity parzystości są wartościami dla pozycji kontrolnych:

 

x4 x2 x1
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

 

 Bity parzystości kolumn przepisujemy do odpowiednich pozycji kontrolnych w słowie kodowym Hamminga:

 

Numer pozycji : 7 6 5 4 3 2 1
Słowo kodu Hamminga: 1 0 1 0 1 0 1

 

Gotowe, utworzyliśmy słowo kodu Hamminga dla danej informacji: 1011 → 1010101.


Przesyłamy wyznaczone powyżej słowo kodu Hamminga 1010101 przez kanał transmisyjny. Występuje przekłamanie na pozycji nr 6 i w efekcie odbiornik odbiera słowo 1110101.

 

Numer pozycji : 7 6 5 4 3 2 1
Odebrane słowo kodu Hamminga: 1 1 1 0 1 0 1

 

Odbiornik wyznacza pozycje wszystkich bitów 1 w odebranym słowie: 7, 6, 5, 3 i 1. Numery pozycji przekształca na kod binarny zgodnie z podaną wcześniej tabelą konwersji: 7 = 111, 6 = 110, 5 = 101, 3 = 011 i 1 = 001. Binarne numery pozycji odbiornik umieszcza w tabeli i każdą kolumnę uzupełnia bitem parzystości:

 

7 1 1 1
6 1 1 0
5 1 0 1
3 0 1 1
1 0 0 1
bit parzystości 1 1 0

 

Otrzymaliśmy wartość 110. Wg tabeli konwersji jest to liczba 6, która oznacza pozycję w słowie kodowym Hamminga, na której wystąpiło przekłamanie. Ponieważ przekłamanie w transmisji cyfrowej polega na odebraniu bitu o stanie przeciwnym do nadanego, zatem wystarczy zanegować (zmienić stan na przeciwny) bit na pozycji 6, aby otrzymać nadane słowo Hamminga:

 

Numer pozycji : 7 6 5 4 3 2 1
Naprawione słowo kodu Hamminga: 1 0 1 0 1 0 1

 

Teraz usuwamy bity kontrolne i otrzymujemy informację nadaną: 1011. Jeśli w trakcie transmisji błąd nie wystąpi, to odbiornik otrzyma w wyniku dekodowania pozycję 000 = 0. W takim przypadku usuwa jedynie bity kontrolne.


Poniższy program tworzy kody Hamminga dla 8-bitowych słówek b8b7b6b5b4b3b2b1. W przypadku słówek 8-bitowych słówko kodowe Hamminga posiada 4 pozycje kontrolne x8, x4, x2 i x1:

 

Numer pozycji : 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Słowo kodu Hamminga: b8 b7 b6 b5 x8 b4 b3 b2 x4 b1 x2 x1

 

Słówka informacyjne wprowadzamy do programu w postaci ciągu zer i jedynek.
 
// Kodowanie Hamminga
// (C)2010 I LO w Tarnowie
//------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    char s[10];
    int  h,w,x,mw,mh,i;

    cout << "        dane = ";
    cin.getline(s,9);

// odczytane słówko przekształcamy na wartość

    for(w = i = 0; (s[i]) && ((s[i] == '0') || (s[i] == '1')); i++)
        w = w + w + (s[i] == '1');

// bity w umieszczamy na odpowiednich pozycjach h
// i wyznaczamy bity kontrolne x

    x = h = 0;

    for(i = 12, mh = 0x800, mw = 0x80; mw; mh >>= 1, mw >>= 1, i--)
    {
        if((mh == 0x80) || (mh == 0x08))
        {
            mh >>= 1;
            i--;
        }

        if(w & mw)
        {
            h |= mh;
            x ^= i;
        }
    }

// bity kontrolne x wstawiamy na odpowiednie pozycje w h

    for(mh = 0x80, mw = 0x8; mw; mw >>= 1)
    {
         if(x & mw) h |= mh;
         switch(mh)
         {
             case 0x80 : mh = 0x08; break;
             case 0x08 : mh = 0x02; break;
             case 0x02 : mh = 0x01; break;
         }
    }

// wyświetlamy gotowe słówko kodu Hamminga

    cout << "kod Hamminga = ";

    for(mh = 0x800; mh; mh >>= 1) cout << ((h & mh) ? "1" : "0");

    cout << endl;

    return 0;
}
        dane = 11001110
kod Hamminga = 110001110011

 


Podane w tym artykule informacje nie wyczerpują zagadnienia kodów korekcyjnych. Zainteresowanych tym tematem czytelników odsyłamy do źródeł w Internecie dotyczących kodów Golay'a, Reeda-Mullera i Reeda-Salomona. Wymagają one zaawansowanej arytmetyki binarnej, wykraczającej poza zakres materiału dla szkoły średniej i dlatego zostały tutaj pominięte. Z drugiej strony kody te są stosowane w popularnym sprzęcie Audio-CD oraz DVD do korekcji błędów odczytu z nośników cyfrowych. Kody ECC Reeda-Salomona pozwalają odtworzyć informację przy wystąpieniu tzw. błędów seryjnych, czyli ciągu kolejnych przekłamanych bitów (powstających np. przy zarysowaniu nośnika CD/DVD). Dzięki nim odtwarzarki CD i DVD mogą poprawnie odczytywać zarysowane i poplamione płyty cyfrowe (oczywiście tylko do pewnego stopnia). Inteligentne urządzenia odtwarzające nawet radzą sobie w sytuacji, gdy fragment danych jest niemożliwy do odtworzenia. W takim przypadku, aby zapobiec nieuniknionym trzaskom w odtwarzanym nagraniu, w miejsce uszkodzonego fragmentu utworu wstawiany jest fragment bezpośrednio poprzedzający uszkodzenie. Niewprawne ucho nawet nie zauważy tego oszustwa w odtwarzanym utworze muzycznym. Podobnie postępuje się w przypadku filmów DVD.

 

 

Obraz telewizyjny składa się z linii obrazowych wyświetlanych kolejno na ekranie kineskopu. Treść poszczególnych linii jest zapisana cyfrowo na płycie DVD. Jeśli w wyniku błędów nośnika nie daje się odtworzyć jednej lub kilku sąsiednich linii, to odtwarzacz DVD po prostu kopiuje w ich miejsce ostatnią dobrze odebraną linię obrazową. Uzyskany efekt jest zwykle niewidoczny lub mniej irytujący niż w przypadku błędnego wyświetlenia uszkodzonego fragmentu obrazu.

 

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.