Rozdział 10


FUNKCJE MATEMATYCZNE

 

Podsumowanie


PI
, EXP, LN, SIN, COS, TAN, ASN, ACS, ATN

 

Ten rozdział zajmuje się matematyką, którą może obsługiwać ZX Spectrum. Całkiem możliwe, że nigdy nie będziesz musiał z tego korzystać, zatem, jeśli stwierdzisz, że jest to dla ciebie zbyt trudne, po prostu przejdź do kolejnego rozdziału. Rozdział pokrywa działanie (podnoszenie do potęgi), funkcje EXP i LN oraz funkcje trygonometryczne SIN, COS, TAN i ich funkcje odwrotne ASN, ACS i ATN.

 

i EXP

Możesz podnieś dowolną liczbę do potęgi drugiej liczby — co znaczy 'pomnożyć pierwszą liczbę przez siebie tyle razy, ile wynosi druga liczba minus jeden'. Normalnie pokazujemy to pisząc drugą liczbę w indeksie górnym ponad i po prawej stronie liczby pierwszej; lecz oczywiście na komputerze byłoby to trudne do wykonania, dlatego w zastępstwie korzystamy z symbolu. Na przykład, potęgi 2 są następujące:

 

2↑1=2  
2↑2=2*2=4 (2 do kwadratu, zapisywane zwykle jako 22)
2↑3=2*2*2=8 (2 do sześcianu, zapisywane zwykle jako 23)
2↑4=2*2*2*2=16 (2 do potęgi czwartej, zapisywane zwykle jako 24)

 

Zatem na najbardziej podstawowym poziomie, 'a b' oznacza 'a pomnożone przez siebie (b-1) razy', lecz oczywiście ma to sens tylko wtedy, jeśli b jest dodatnią liczbą całkowitą. Aby znaleźć definicję, która obejmuje również inne wartości b, rozważmy regułę

 

a↑(b+c)=a↑b*a↑c

 

(Zauważ, że nadajemy operacji ↑ wyższy priorytet niż dla * i /, zatem jeśli w jednym wyrażeniu znajduje się kilka operacji, to ↑ zostanie obliczone przed * i /.) Gdy b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi, nie trzeba cię specjalnie przekonywać, że wzór jest słuszny; lecz gdy zdecydujemy, że chcemy, aby nadal był on słuszny dla liczb niecałkowitych jak również ujemnych, to będziemy zmuszeni przyjąć, że

 

a↑0=1
a↑(-b)=1/a↑b
a↑(1/b)=b-ty pierwiastek a, tzn. liczba, która pomnożona przez siebie (b-1) razy daje a.

 

oraz

 

a↑(b*c)=(a↑b)↑c

 

Jeśli żadnego z tych wzorów wcześniej nie widziałeś, nie staraj się ich od razu zapamiętać; po prostu zapamiętaj, że

 

a↑(-1)=1/a

oraz

a↑(1/2)=SQR a

 

a być może, gdy się z tym oswoisz, to reszta zacznie mieć sens.

Poeksperymentuj z tym wszystkim, wpisując ten program:

 

10 INPUT a,b,c
20 PRINT a↑(b+c),↑b*a↑c
30 GO TO 10

 

Oczywiście, jeśli podana wcześniej przez nas reguła jest prawdziwa, to przy każdym obiegu dwie wyświetlane przez komputer liczby będą równe. (Uwaga — ze względu na sposób wyliczania przez komputer wartości operacji potęgowania ↑, liczba po lewej stronie — w tym przypadku a — nie powinna nigdy być ujemna.)

Typowym przykładem pokazującym zakres stosowania tej funkcji jest procent składany. Załóżmy, iż ulokowałeś część swoich pieniędzy w spółce budowlanej, która daje 15% przychodu rocznie. Zatem po jednym roku nie będziesz posiadał tylko te 100%, które i tak miałeś, lecz również 15% przychodu, który dała ci spółka, co daje w sumie 115% tego, co miałeś na początku. Innymi słowy, pomnożyłeś swoją sumę pieniędzy przez 1.15, a jest to zawsze prawdziwe bez względu na to, ile początkowo zainwestowałeś . Po kolejnym roku znów wydarzy się to samo, zatem będziesz posiadał 1.15*1.15=1.15↑2=1,3225 razy więcej od wartości początkowej. Ogólnie, po y latach będziesz posiadał 1,15↑y razy to, z czym wystartowałeś.

Jeśli wypróbujesz polecenie

 

FOR y=0 TO 100: PRINT y,10*1.15↑y:NEXT y

 

to zobaczysz, że nawet wychodząc od tak małej sumy jak 10 funtów, wszystko rośnie dosyć szybko, a co więcej, przyspiesza w miarę upływu czasu. (Chociaż mimo to, wciąż możesz stwierdzić, że przegrywa z inflacją.)

Takie zachowanie, gdzie po ustalonym okresie czasu pewna ilość mnoży się przez ustalony ułamek, jest nazywane wzrostem wykładniczym i oblicza się go podnosząc ten ustalony ułamek do potęgi czasu.

Załóżmy, że wpisałeś to:

 

10 DEF FN a(x)=a↑x

 

Tutaj a jest mniej więcej ustalone przez polecenia LET: jego wartość odpowiada przyrostowi procentowemu, który zmienia się tylko od czasu do czasu.

Istnieje pewna wartość a, która sprawia, że funkcja FN a wygląda szczególnie ładnie dla wyszkolonych oczu matematyka: a wartość ta jest nazywana e. ZX Spectrum posiada funkcję o nazwie EXP zdefiniowaną jako

 

EXP x=e↑x

 

Niestety, samo e nie jest specjalnie ładną liczbą: jest to liczba niewymierna. Możesz zobaczyć jej kilka początkowych cyfr, wykonując

 

PRINT EXP 1

 

ponieważ EXP 1 = e↑1 = e. Oczywiście, jest to tylko przybliżenie. Nigdy e nie uda się zapisać dokładnie, gdyż posiada nieskończenie wiele cyfr.

 

LN

Odwrotnością funkcji potęgowej jest funkcja logarytmiczna: logarytmem (o podstawie a) z liczby x jest potęga, do której musisz podnieść a, aby otrzymać liczbę x, a zapisuje się go jako logax. Stąd z definicji a↑logax=x; a również jest prawdą, że log(a↑x)=x.

Mogłeś już wcześniej używać logarytmów o podstawie 10 do wykonywania mnożeń; zwane są one logarytmami dziesiętnymi. ZX Spectrum ma funkcję LN, która wylicza logarytmy o podstawie e; te nazywa się logarytmami naturalnymi. Aby obliczyć logarytm przy dowolnej podstawie, musisz podzielić logarytm naturalny przez logarytm naturalny z tej bazy:

 

logax=LN x/ LN a

 

PI

Mając dany dowolny okrąg, możesz znaleźć jego obwód (długość wzdłuż jego krawędzi) przez pomnożenie jego średnicy (szerokości) przez liczbę zwaną π. (π jest grecką literą p, którą nazywamy pi.)

Podobnie jak e liczba π jest liczbą niewymierną i zaczyna się od cyfr 3.141592653589... Słowo PI w Spectrum (tryb rozszerzony, następnie klawisz M) oznacza właśnie tę liczbę — sprawdź PRINT PI.

 

SIN, COS i TAN; ASN, ACS i ATN

Funkcje trygonometryczne oceniają, co się dzieje, gdy pewien punkt porusza się po okręgu. Oto koło o promieniu 1 (1 czego? Nie ma to znaczenia, jeśli wszędzie będziemy stosować tę samą jednostkę długości. Jeśli chcesz, możesz sobie sam wynajdywać różne jednostki długości dla każdego okręgu, który cię zainteresuje) oraz punkt poruszający się wokół niego. Punkt rozpoczął podróż od pozycji godziny trzeciej na zegarze, a następnie poruszał się wokoło w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

 

 

Narysowaliśmy również dwie linie, zwane osiami, przechodzące przez środek okręgu. Oś pozioma zwana jest osią x, a pionowa to oś y.

Aby określić pozycję punktu, mówisz jak daleko przesunął się on wokół okręgu od startowej pozycji na godzinie trzeciej: nazwijmy to odległością a. Wiemy, że obwód całego okręgu wynosi 2π (ponieważ jego promień jest 1, to średnica wynosi 2): zatem, jeśli przesunął się o ćwierć obwodu, a=π/2; jeśli o pół obwodu, a=π; a gdy obiegnie on cały obwód, to a=2π.

Mając daną odległość na obwodzie, a, możesz chcieć poznać jeszcze dwie inne odległości, mianowicie, jak daleko punkt jest od osi y i x. Odległości te nazywają się odpowiednio cosinusem i sinusem a. Obliczą je na komputerze funkcje COS i SIN.

 

Zauważ, że jeśli punkt znajdzie się po lewej stronie osi y, to cosinus stanie się ujemny; a jeśli punkt przejdzie poniżej osi x, to sinus stanie się ujemny.

Inną własnością jest to, iż po osiągnięciu przez a wartości , punkt wraca do punktu wyjścia, a sinus i cosinus ponownie przyjmują te same wartości co poprzednio:

 

SIN (a+2*PI) = SIN a
COS (a+2*PI) = COS a

 

Tangens z a jest zdefiniowany jako iloraz sinusa przez cosinus; odpowiada mu w komputerze funkcja TAN.

Czasami musimy używać odwrotności tych funkcji, znajdując wartość a mając daną wartość sinusa, cosinusa lub tangensa. Funkcje wykonujące to zadanie nazywają się arcus sinus (na komputerze ASN), arcus cosinus (ACS) i arcus tangens (ATN).

Na rysunku pokazującym ruch punktu wokół okręgu poszukaj promienia, który łączy środek z punktem. Powinieneś zauważyć, że odległość nazwana przez nas a, czyli odległość na obwodzie koła od punktu startu do pozycji punktu, umożliwia pomiar kąta o jaki obrócił się promień od osi x. Gdy a=π/2, kąt ten wynosi 90 stopni; gdy a=π, kąt jest równy 180 stopni; i tak dalej aż do a=2π, a wtedy kąt będzie równy 360 stopni. W zasadzie można by zapomnieć o stopniach i mierzyć kąty tylko samą odległością a: powiemy wtedy, że kat mierzymy w radianach. Zatem π/2 radianów = 90 stopni, itd.

Musisz zawsze pamietać, że na ZX Spectrum funkcje SIN, COS itd. korzystają z radianów, a nie ze stopni. Aby zamienić stopnie na radiany, podziel przez 180 i pomnóż przez π; aby zamienić z powrotem z radianów na stopnie, podziel przez π i pomnóż przez 180.

 

 


   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2018 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe