Serwis Edukacyjny
Nauczycieli
w I-LO w Tarnowie

Do strony głównej I LO w Tarnowie

Materiały dla uczniów liceum

  Wyjście       Spis treści       Poprzedni       Następny  

©2017 mgr Jerzy Wałaszek
I LO w Tarnowie

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek
Konsultacje: Wojciech Grodowski, mgr inż. Janusz Wałaszek

 

 

Prąd przemienny

 

Rodzaje prądów elektrycznych

W elektronice rozróżniamy kilka podstawowych rodzajów prądu elektrycznego.

Prąd stały (ang. direct current: DC) cechuje się tym, że posiada stałe natężenie oraz zwrot - w przewodzie płynie tylko w jednym kierunku. Tego typu prąd powstaje na przykład przy zasilaniu bateryjnym obwodu złożonego z samych oporników (obwód może zawierać również elementy pojemnościowe lub indukcyjne, lecz w takim przypadku musi upłynąć pewien czas, aż ustalą się parametry tych elementów).

Prąd zmienny (ang. variable current) jest prądem, którego natężenie zmienia się w czasie. Z takim prądem spotykamy się zwykle w stanach nieustalonych obwodów, które zawierają elementy pojemnościowe i indukcyjne. Z takim prądem spotkasz się przy zasilaniu układów elektronicznych, których pobór prądu zależy od wykonywanych w danej chwili operacji.

Prąd przemienny (ang. alternating current: AC) jest prądem, który cyklicznie zmienia swój kierunek, tzn. raz płynie w jedną stronę, a raz w drugą. Taki prąd spotkasz w sieci energetycznej, która zasila urządzenia w twoim domu. Również spotkasz go wewnątrz różnych zasilaczy dla urządzeń elektronicznych.

 

Parametry napięcia przemiennego

Prąd przemienny wywoływany jest przez przemienne napięcie elektryczne. Naturalnym kształtem takiego napięcia jest sinusoida. Narysujmy przebieg zmian napięcia przemiennego w funkcji czasu:

Napięcie zmienia się cyklicznie od wartości +Umax do -Umax i z powrotem od -Umax do +Umax. Zmiana nie jest nagła, tylko rozkłada się w czasie wg funkcji sinus. Na wykresie wyróżniamy amplitudę:

Jest to największe odchylenie wartości napięcia od wartości 0. Drugim parametrem jest okres T, czyli czas, w którym napięcie wykonuje jeden kompletny cykl zmian. Im mniejszy okres, tym szybciej napięcie oscyluje wokół 0. Definiujemy jeszcze częstotliwość f:

Częstotliwość określa liczbę okresów zmian napięcia w ciągu jednej sekundy. Jednostką częstotliwości jest herc:

Dana wielkość zmienia się z częstotliwością jednego herca, jeśli okres zmian wynosi jedną sekundę.

Na przykład napięcie przemienne w sieci energetycznej w Polsce posiada częstotliwość 50Hz, czyli w ciągu jednej sekundy wystąpi 50 okresów zmian tego napięcia.

Aby powiązać przebieg sinusoidalny z częstotliwością lub okresem, wprowadza się tzw. prędkość kątową zwaną inaczej pulsacją:

Teraz możemy zapisać funkcję napięcia:

Wzory te pozwalają wyznaczyć wartość chwilową napięcia przemiennego w dowolnej chwili czasu. Do tego celu musimy znać amplitudę Umax i pulsację ω lub częstotliwość f lub okres T.

W obwodach prądu przemiennego często pojawi się tzw. przesunięcie fazowe, które określa opóźnienie lub wyprzedzenie funkcji danej wielkości (napięcia lub prądu) w stosunku do funkcji podstawowej. Przesunięcie fazowe podajemy w radianach. Poniżej podajemy wykresy dwóch napięć. Niebieski jest wykresem napięcia bez przesunięcia fazowego, czerwony jest wykresem napięcia przesuniętego w fazie o π/2:

Uwzględniając przesunięcie fazowe, wzór na wartość chwilową napięcia przyjmuje postać:

 

Obwód elektryczny dla napięcia przemiennego

Mamy następujący obwód elektryczny:

W obwodzie znajduje się siła elektromotoryczna E, która zasila obwód napięciem przemiennym:

oraz opornik R. Podane wcześniej prawa obwodów również obowiązują dla obwodu zasilanego napięciem przemiennym. Zatem dla każdej chwili czasu t spełnione jest drugie prawo Kirchhoffa:

Wynika z tego, że na oporniku występuje spadek napięcia równy chwilowej wartości e(t). Z prawa Ohma obliczamy prąd przepływający w obwodzie:

Prąd płynący przez obwód jest prądem przemiennym. Prąd jest w fazie z napięciem zasilającym (czyli z SEM). Wartość maksymalna prądu jest równa:

A stąd:

Taki sposób operowania prądem i napięciem jest dla elektryków niewygodny. Dlatego często wprowadza się pojęcie tzw. wartości skutecznej. Jest to przeliczona wartość prądu/napięcia przemiennego na prąd/napięcie stałe, które wywołuje ten sam skutek. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie, że przez opornik o oporności R przepływa prąd stały I. Przepływ prądu powoduje wykonanie pracy W, która zamienia się na ciepło:

Przepływ prądu zmiennego też wywołuje skutek cieplny, lecz wzór jest bardziej skomplikowany:

UR jest maksymalną wartością spadku napięcia na oporniku R.

Chcemy wyznaczyć taką wartość prądu stałego I, aby wywoływał te same skutki cieplne w czasie t co prąd i(t). Za t przyjmijmy okres T. Najpierw policzmy wartość całki oznaczonej. Wykorzystujemy do tego celu wzór Newtona:

Za czas t podstawiamy okres T:

I ostatecznie:

Otrzymaliśmy wynik, że takie same skutki cieplne wywoła prąd stały I, który jest równy maksymalnej wartości prądu zmiennego podzielonej przez pierwiastek z 2. Prąd I nazywamy prądem skutecznym prądu i(t). To samo odnosi się również do napięcia:

Moc skuteczna jest iloczynem prądu skutecznego i napięcia skutecznego:

Wartości napięć i prądów przemiennych są podawane jako skuteczne.

Przykład:

Napięcie w polskiej sieci energetycznej wynosi 240V. Ile wynosi napięcie maksymalne:


Jeśli obwód przemiennoprądowy składa się tylko z oporników, to praktycznie oblicza się go tak samo jak obwód prądu stałego po wprowadzeniu napięć i prądów skutecznych. Kłopoty zaczynają się, gdy w obwodzie pojawią się elementy pojemnościowe i indukcyjne.

Rozważmy powyższy obwód elektryczny. Zawiera on SEM oraz kondensator C. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma sił elektromotorycznych oraz spadków napięć w zamkniętym oczku sieci wynosi 0V. Wynika z tego, że:

Prąd i(t) jest prądem ładującym lub rozładowującym kondensator:

Wprowadźmy wielkość zwaną reaktancją pojemnościową lub oporem pojemnościowym:

Podstawiając ją do wzoru na prąd, otrzymamy:

Otrzymaliśmy odpowiednik prawa Ohma dla prądu zmiennego z kondensatorem. Z powyższego wzoru wynikają dwa wnioski:

  • prąd pojemnościowy nie jest w fazie z napięciem na kondensatorze, lecz wyprzedza je o kąt π/2.
  • reaktancja pojemnościowa XC zależy od pulsacji ω, a zatem zależy od częstotliwości. Przy wzroście częstotliwości reaktancja pojemnościowa maleje, czyli prąd kondensatora rośnie.

Zastąpmy w naszym obwodzie kondensator cewką o indukcyjności L:

Tutaj również obowiązuje II prawo Kirchhoffa:

Dla cewki obowiązuje wzór:

Mamy zatem:

Wprowadźmy reaktancję indukcyjną zwaną również oporem indukcyjnym:

Po podstawieniu do wzoru otrzymamy prawo Ohma dla prądu zmiennego z cewką indukcyjną:

Wnioski są następujące:

  • prąd indukcyjny opóźnia się w fazie o π/2 za napięciem na cewce.
  • reaktancja indukcyjna rośnie wraz z częstotliwością prądu przemiennego.

 

Zastosowanie liczb zespolonych

Standardowe obliczenie obwodów prądu przemiennego są skomplikowane i żmudne. Często wymagają rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Na szczęście elektrycy wpadli na pomysł, jak całą sprawę uprościć. Kluczem są tutaj liczby zespolone. Dzięki nim obliczenie nie są specjalnie trudniejsze od obliczeń wykonywanych w obwodach prądu stałego.

Wersor rotacyjny

Wersor jest wektorem zaczepionym w środku układu współrzędnych. Ma on długość (moduł) równą 1. Wersor rotacyjny jest wersorem, który obraca się wokół swojego punktu zaczepienia z prędkością ω. Zapisujemy go w postaci zespolonej jako ejωt. Jest to postać wykładnicza liczby zespolonej:

Na płaszczyźnie zespolonej wersor rotacyjny wiruje przeciwnie do wskazówek zegara (jest tzw. kierunek matematycznie dodatni):

Do czego posłuży nam wersor rotacyjny? Do przedstawiania wartości, które zmieniają się okresowo wg funkcji sinus i cosinus. Jak to zrobimy? Bardzo prosto: pomnożymy wartość maksymalną przebiegu sinusoidalnego przez wektor rotacyjny. Spowoduje to, iż moduł tego wektora przyjmie wartość maksymalną przebiegu. Tak otrzymany wektor nazywamy wskazem. Umówmy się, że wartości zespolone będziemy przedstawiać z podkreśleniem. Na przykład napięcie przemienne o wartości maksymalnej U zapiszemy za pomocą wskazu jako:

Dla obwodu zawierającego oporność R:

Prąd jest w fazie z napięciem zasilającym. Wykres wskazowy prezentuje wskazy na płaszczyźnie zespolonej:

Dla obwodu zawierającego pojemność C:

Najpierw liczymy oporność pojemnościową:

Następnie obliczamy prąd pojemnościowy wg prawa Ohma:

Wykres wskazowy:

Prąd pojemnościowy wyprzedza napięcie na kondensatorze o π/2.

 

Dla obwodu zawierającego indukcyjność L:

Liczymy oporność indukcyjną:

Obliczamy prąd indukcyjny wg prawa Ohma:

Wykres wskazowy:

Prąd indukcyjny opóźnia się za napięciem na cewce o π/2.


A co się stanie, gdy w obwodzie pojawią się dwa różne elementy bierne (oporowe, pojemnościowe lub indukcyjne)?

 

Obwód RC:

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa:

Liczymy impedancję obwodu:

Z prawa Ohma liczymy prąd:

Prąd nie jest w fazie z napięciem zasilającym, lecz wyprzedza je o kąt φ.

Napięcie na oporniku znajdziemy ze wzoru:

Napięcie na oporniku jest w fazie z prądem. Napięcie na kondensatorze otrzymamy mnożąc prąd przez opór pojemnościowy:

Napięcie na kondensatorze opóźnia się za prądem o π/2.

Wykresy wskazowe:

Wskazy napięcia na oporniku i napięcia na kondensatorze są pod katem prostym.

Obwód RL:

II prawo Kirchhoffa:

Liczymy impedancję obwodu:

Prawo Ohma:

Prąd nie jest w fazie z napięciem zasilającym, lecz opóźnia się o kąt φ.

Napięcie na oporniku:

Napięcie na cewce:

Napięcie na cewce wyprzedza prąd o π/2.

Wykresy wskazowe:

Obwód LC:

II prawo Kirchhoffa:

Impedancja:

Zwróć uwagę, że dla pewnej częstotliwości impedancja obwodu wynosi 0. Częstotliwość taką nazywamy częstotliwością rezonansową obwodu. Możemy ją obliczyć ze wzoru:

Jeśli w obwodzie znajdują się tylko pojemność i indukcyjność, to rezonans może być niebezpieczny, ponieważ impedancja maleje do zera, a prąd rośnie nieskończenie. Załóżmy jednak, że rezonans nie wystąpił. W takim przypadku obwód ma charakter pojemnościowy lub indukcyjny, w zależności od tego, który z tych składników przeważa. Widać do wyraźnie przy określaniu kąta φ.

Prąd w obwodzie:

Ponieważ kąt φ może przyjmować wartość π/2 dla charakteru indukcyjnego lub -π/2 dla charakteru pojemnościowego, to prąd w obwodzie będzie prądem albo indukcyjnym (opóźnionym za napięciem o π/2), albo pojemnościowym (wyprzedzającym napięcie o π/2).

Napięcia na kondensatorze i cewce:

Napięcia na kondensatorze i cewce są odwrócone w fazie. Wykresy fazowe należy zatem utworzyć dla dwóch przypadków:

Charakter pojemnościowy obwodu

Charakter indukcyjny obwodu


Z podanych przykładów widać jasno, że zastosowanie liczb zespolonych do obliczania obwodów prądu przemiennego znacznie upraszcza wszelkie rachunki, sprowadzając je praktycznie do takich samych reguł jak przy prądzie stałym:

Prąd stały Prąd przemienny

Prawo Ohma

Połączenie szeregowe

Połączenie równoległe

I prawo Kirchhoffa

II prawo Kirchhoffa

 

Moc prądu przemiennego

Z poprzednich podrozdziałów wynika, że obwodach prądu przemiennego pobierany prąd nie musi być w fazie z napięciem zasilającym. Dzieje się tak wtedy, gdy obwód zawiera pojemności i indukcyjności. Dlatego przy prądzie przemiennym rozróżniamy kilka mocy.

Moc pozorna

Jest to iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu:

Jednostką mocy pozornej jest 1V·A, czyli tzw. woltoamper.

Moc czynna

Jest to moc, którą pobiera obwód i zamienia na pracę lub ciepło. W układzie prądu stałego cała pobierana moc jest mocą czynną. W układzie prądu przemiennego moc czynną definiujemy jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:

Istnieje związek mocy czynnej z mocą pozorną:

Jednostką mocy czynnej jest 1W (wat).

Moc bierna

Jest to moc pobierana ze źródła, która nie jest zamieniana w pracę lub w ciepło. Moc bierna związana jest z elementami pojemnościowymi i indukcyjnymi w obwodzie. Definiujemy ją jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi:

Związek z mocą pozorną:

Jednostką jest:

Moc pozorna, czynna i bierna tworzą tzw. trójkąt mocy:

Jest to trójkąt prostokątny, zatem:

 

 

Podsumowanie

Rotacja

ω – prędkość obrotowa, rotacja, pulsacja
f
– częstotliwość
T – okres

Przebieg sinusoidalny w czasie

A – amplituda przebiegu
ω
– prędkość obrotowa, rotacja, pulsacja
t – czas

Wskaz

A – wielkość zespolona
A – amplituda
ω
– prędkość obrotowa, rotacja, pulsacja
t – czas
φ – kat przesunięcia fazowego

Impedancja zespolona dla połączenia szeregowego

Moc pozorna

Moc czynna

Moc bierna

 

Zespół Przedmiotowy
Chemii-Fizyki-Informatyki

w I Liceum Ogólnokształcącym
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie
ul. Piłsudskiego 4
©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone
pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl