Pozycyjne Systemy Liczbowe


Podrozdziały

 

W rozdziale tym przedstawiam dosyć dużą porcję teorii systemów pozycyjnych. Nie jest to materiał specjalnie trudny lecz żmudny do opanowania. Dlatego proponuję studiować go stopniowo lub zaglądać tutaj w razie potrzeby przy napotkaniu jednego z opisywanych zagadnień . Do pracy z PMC nie będą nam potrzebne wiadomości o liczbach zmiennoprzecinkowych. Możesz więc tę część pominąć, jednak jeśli w przyszłości masz zamiar programować prawdziwe komputery, to może to okazać się dla ciebie niezbędne.

 

Obliczanie wartości liczb w systemach pozycyjnych

Cechy zapisu pozycyjnego liczb

Podstawowe cechy każdego systemu pozycyjnego można scharakteryzować w sposób następujący:

Rozważmy pewien system pozycyjny o dowolnej podstawie p, p > 1. W systemie tym mamy p cyfr, które oznaczymy literką c. Zapiszmy pewną liczbę za pomocą n cyfr: cn-1cn-2...c2c1c0. Wartość tak zapisanej liczby możemy obliczyć zgodnie z podanym powyżej sposobem:

waga pozycji   pn-1 pn-2   p2 p1 p0  = c0p0 + c1p1 + c2p2 + ... + cn-2pn-2 + cn-1pn-1
cyfra   cn-1 cn-2 ... c2 c1 c0

 

Matematycznie zapisujemy to w następujący sposób:

cn-1cn-2...c2c1c0 =

n-1

i = 0

cipi

Przykład

Obliczmy wartość kilku liczb zapisanych w systemach pozycyjnych o różnych podstawach.

p = 7,  zbiór cyfr to {0,1,2,3,4,5,6}

43521(7) = ???(10)   mały indeks u dołu oznacza podstawę systemu, w którym zapisano liczbę.

43521(7) = 1 × 70 + 2 × 71 + 5 × 72 + 3 × 73 + 4 × 74
43521(7) = 1 × 1 + 2 × 7 + 5 × 49 + 3 × 343 + 4 × 2401
43521(7) = 1 + 14 + 245 + 1029 + 9604
43521(7) = 10893(10)

 

p = 3, zbiór cyfr to {0,1,2}

2101122(3) = ???(10)

2101122(3) = 2 × 30 + 2 × 31 + 1 × 32 + 1 × 33 + 0 × 34 + 1 × 35 + 2 × 36
2101122(3) = 2 × 1 + 2 × 3 + 1 × 9 + 1 × 27 + 0 × 81 + 1 × 243 + 2 × 729
2101122(3) = 2 + 6 + 9 +27 +243 + 1458
2101122(3) = 1745(10)

 

p = 17, zbiór cyfr to {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G} - brakujące cyfry 10..16 wyrażamy literkami A...G

AGF63B(17) = ???(10)
AGF63B(17) = 11 × 170 + 3 × 171 + 6 × 172 + 15 × 173 + 16 × 174 + 10 × 175
AGF63B(17) = 11 × 1 + 3 × 17 + 6 × 289 + 15 × 4.913 + 16 × 83.521 + 10 × 1.419.857
AGF63B(17) = 11 + 51 + 1.734 + 73.695 + 1.336.336 + 14.198.570
AGF63B(17) = 15.610.397(10)

 

Wartość liczby całkowitej

INSTRUKCJA:

 

Do pierwszego pola u góry wprowadź liczbę w systemie o podstawie p, ustaw tę podstawę na drugim polu i kliknij przycisk obliczania wartości. Wynik ukaże się w dolnym oknie tekstowym. Jeśli wprowadzona liczba nie będzie prawidłowa, to w oknie ukaże się odpowiedni komunikat. Cyferki literowe można wprowadzać jako duże lub małe znaki.

Zapis liczby w systemie
o podstawie p

podstawa =

 


Wartość liczby w systemie dziesiętnym

 

JavaScript - (C)2002 Jerzy Wałaszek

 

Zapis stałoprzecinkowy

Podany schemat zapisu liczb pozwala na zapisywanie jedynie liczb całkowitych. Aby umożliwić również zapis liczb ułamkowych, musimy rozszerzyć wagi pozycji w stronę ujemnych potęg podstawy. Część ułamkową oddzielimy od części całkowitej zapisu za pomocą znaku przecinka.

wagi   pn-1   p2 p1 p0   p-1 p-2   p-m
cyfry   cn-1 ... c2 c1 c0     ,      c-1 c-2 ... c-m
  n cyfr   m cyfr

 

Wbrew pozorom obliczenie wartości tak zapisanej liczby wcale nie jest trudniejsze. Zasada nie zmienia się i musimy sumować kolejne iloczyny wartości cyfr przez wartości wag pozycji. Obliczenia rozpoczynamy od pierwszej pozycji po prawej stronie.

 

cn-1...c2c1c0,c-1c-2...c-m  =  c-mp-m + ... + c-2p-2 + c-1p-1 + c0p0 + c1p1 + c2p2 + ... + cn-1pn-1

cn-1cn-2...c2c1c0 , c-1c-2...c-m=

n-1

i = -m

cipi

Przykład

Obliczyć wartość liczby stałoprzecinkowej 245,133 zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p = 6.

245,133
(6) = 3 × 6-3 + 3 × 6-2 + 1 × 6-1 + 5 × 60 + 4 × 61 + 2 × 62
245,133(6) = 3 × 1/216 + 3 × 1/36 + 1 × 1/6 + 5 × 1+ 4 × 6 + 2 × 36
245,133(6) = 3/216 + 3/36 + 1/6 + 5 + 24 + 72
245,133(6) = 1/72 + 1/12 + 1/6 + 5 + 24 + 72
245,133(6) = (1 + 6 + 12)/72 + 101
245,133(6) = 101 19/72 = 101,263888888888...(10)

 

Wartość liczby stałoprzecinkowej

INSTRUKCJA:

 

Do pierwszego pola u góry wprowadź liczbę stałoprzecinkową w systemie o podstawie p, Jako przecinka użyj znaku kropki,. Ustaw podstawę systemu na drugim polu i kliknij przycisk. Wynik ukaże się w dolnym oknie tekstowym. Jeśli wprowadzona liczba nie będzie prawidłowa, to w oknie ukaże się odpowiedni komunikat. Cyferki literowe można wprowadzać jako duże lub małe znaki.

Zapis liczby w systemie
o podstawie p

podstawa =

 

Wartość liczby  w systemie dziesiętnym
 

JavaScript - (C)2002 Jerzy Wałaszek

 

Schemat Hornera dla liczb całkowitych

Podany sposób obliczania wartości liczby zapisanej w dowolnym systemie pozycyjnym jest poprawny, lecz z punktu widzenia wykonywania obliczeń ma dosyć istotną wadę. Występują w nim potęgi podstawy. Działanie potęgowania jest czasochłonne - komputery dużo szybciej wykonują mnożenie i dodawanie. Zastanówmy się, czy nie można obliczyć wartości liczby bez odwoływania się do kolejnych potęg podstawy. W tym celu dokonamy prostych przekształceń podstawowego wzoru obliczeniowego.

Dla dowolnej podstawy p wartość liczby wyrażonej n cyframi c ze zbioru {0,1,...(p cyfr)} obliczamy jako:

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0  =  c0p0 + c1p1 + c2p2 + ... + cn-3pn-3 + cn-2pn-2 + cn-1pn-1

Ponieważ p0 = 1, a p1 = p dla dowolnego p,  więc możemy zapisać:

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0  =  c0 + c1p + c2p2 + ... + cn-3pn-3 + cn-2pn-2 + cn-1pn-1

Z iloczynów c1p, c2p2, ...,cn-1pn-1 wyciągamy przed nawias wspólny czynnik, czyli p

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0  =  c0 + p(c1 + c2p + ... + cn-3pn-4 + cn-2pn-3 + cn-1pn-2)

Teraz podobnie postępujemy z iloczynami c2p,...,cn-1pn-2

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0  =  c0 + p(c1 + p(c2 + ... + cn-3pn-5 + cn-2pn-4 + cn-1pn-3))

Zwróćcie uwagę, iż po każdej takiej operacji maleje stopień pozostałego wielomianu utworzonego z potęg podstawy p. Wyciąganie wspólnego czynnika p kontynuujemy, aż do otrzymania wielomianu, w którym czynnik p występuje tylko w pierwszej potędze.

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0 = c0 + p(c1 + p(c2 + ... + p(cn-3 + p(cn-2 + cn-1p))...))

Otrzymaliśmy nowy wzór, w którym nie występuje już potęgowanie. Nosi on nazwę Schematu Hornera. Na jego podstawie można zaprojektować algorytm obliczania wartości liczby w zapisie pozycyjnym o dowolnej podstawie. Algorytm ten jest następujący:


Algorytm Hornera obliczania wartości liczby całkowitej

n - liczba cyfr w zapisie pozycyjnym danej liczby
p - podstawa systemu pozycyjnego, w którym jest zapisana liczba
ci - cyfra stojąca na i-tej pozycji. Pozycja o numerze 0 jest pierwszą pozycją od strony prawej.
w - obliczana wartość liczby

  1. w ← 0
  2. in - 1
  3. wci + w × p
  4. jeśli i = 0, to koniec, w zawiera wartość liczby
  5. ii - 1
  6. wróć do punktu 3

 

Aby lepiej zrozumieć działanie tego algorytmu, przetestujmy go w praktyce. Załóżmy, że mamy czterocyfrową liczbę w systemie pozycyjnym o podstawie p.

Liczbę tę zapiszmy jako: c3c2c1c0, gdzie ci, i = 0,1,2,3 jest kolejną cyfrą systemu pozycyjnego o podstawie p. Wykonujemy kolejne obliczenia zgodne z podanym algorytmem Hornera:
 

w ← 0
w ← c3 + w × p, czyli w ← c3
w ← c2 + w × p, czyli w ← c2 + c3p
w ← c1 + w × p, czyli w ← c1 + c2p + c3p2
w ← c0 + w × p, czyli w ← c0 + c1p + c2p2 + c3p3 i kończymy, ponieważ użyliśmy wszystkich cyfr
 

W wyniku wykonania algorytmu Hornera otrzymaliśmy wzór potęgowy, ale w algorytmie nigdzie nie wykonywane było działanie potęgowania. Algorytm Hornera jest powszechnie stosowany w programach komputerowych do efektywnego obliczania wartości liczby w zapisie pozycyjnym.

 

Przykład

Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera wartość liczby 742031 zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p=8.

w ← 0
w ← 7 + 0 × 8 = 7
w ← 4 + 7 × 8 = 60
w ← 2 + 60 × 8 = 482
w ← 0 + 482 × 8 = 3856
w ← 3 + 3856 × 8 = 30851
w ← 1 + 30851 × 8 = 246809 i kończymy, ponieważ osiągnęliśmy ostatnią cyfrę
 

Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera wartość liczby 2210112 zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p=3.

w ← 0
w ← 2 + 0 × 3 = 2
w ← 2 + 2 × 3 = 8
w ← 1 + 8 × 3 = 25
w ← 0 + 25 × 3 = 75
w ← 1 + 75 × 3 = 226
w ← 1 + 226 × 3 = 679
w ← 2 + 679 × 3 = 2039 i kończymy, gdyż osiągnęliśmy już ostatnią cyfrę
 

Chociaż we wzorze formalnym i w algorytmie pojawia się numer pozycji cyfry (oznaczony jako i), to przykłady praktyczne pokazują nam, iż właściwie do poprawnego obliczenia wartości liczby musimy jedynie wiedzieć, że osiągnęliśmy ostatnią cyfrę. Ilość cyfr nie jest specjalnie istotna. Jest to bardzo miła cecha algorytmu Hornera, z której często będziemy korzystać przy programowaniu - cyfry mogą być kolejno podawane jako strumień danych, a program zlicza je aż do stwierdzenia końca strumienia.

 

Schemat Hornera dla zapisu stałoprzecinkowego

Pierwsze podejście będzie polegało na oddzielnym obliczeniu wartości części całkowitej oraz części ułamkowej. Dla części całkowitej mamy podany już sposób postępowania. Zajmijmy się częścią ułamkową.
 

c-1c-2c-3...c-m+1c-m = c-1p-1 + c-2p-2 + c-3p-3 + ... + c-m+1p-m+1 + c-mp-m
 

Postępujemy podobnie jak w poprzednim podrozdziale - wyciągamy przed nawias wspólny czynnik p-1. kolejno otrzymamy coraz prostsze wyrażenie w nawiasach. Operację tę kontynuujemy, aż do zredukowania wszystkich potęg podstawy mniejszych od -1.
 

,c-1c-2c-3...c-m+1c-m = p-1(c-1 + c-2p-1 + c-3p-2 + ... + c-m+1p-m+2 + c-mp-m+1)
,c-1c-2c-3...c-m+1c-m = p-1(c-1 + p-1(c-2 + c-3p-1 + ... + c-m+1p-m+3 + c-mp-m+2))
,c-1c-2c-3...c-m+1c-m = p-1(c-1 + p-1(c-2 + p-1(c-3 + ... + c-m+1p-m+4 + c-mp-m+3)))
,c-1c-2c-3...c-m+1c-m = p-1(c-1 + p-1(c-2 + p-1(c-3 + ... + p-1(c-m+1 + c-mp-1)...)))
 

Z otrzymanego wzoru wynika, iż obliczenia musimy rozpocząć od ostatniej cyfry, a więc odwrotnie niż dla części całkowitej. Reszta schematu jest podobna do poprzednio podanej wersji.

 

Algorytm Hornera obliczania wartości liczby stałoprzecinkowej

m - liczba cyfr po przecinku w zapisie pozycyjnym danej liczby
p - podstawa systemu pozycyjnego, w którym jest zapisana liczba
ci - cyfra stojąca na i-tej pozycji. Pozycja o numerze -m jest pierwszą pozycją od strony prawej.
w - obliczana wartość liczby

  1. w ← 0
  2. i-m
  3. w(ci + w) / p
  4. ii + 1
  5. jeśli i = 0, to koniec, w zawiera wartość liczby
  6. w przeciwnym razie wróć do punktu 3

 

Przykład

Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera wartość liczby 237,745 zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p=8.

Najpierw obliczamy wartość części całkowitej:

w ← 0
w ← 2 + 0 × 8 = 2
w ← 3 + 2 × 8 = 19
w ← 7 + 19 × 8 = 159

Teraz obliczamy część ułamkową:

w ← 0
w ← (5 + 0) / 8 = 5/8
w ← (4 + 5/8) / 8 = 37/64
w ← (7 + 37/64) / 8 = 485/512

Czyli ostatecznie możemy zapisać: 237,745(8) = 159 485/512 = 159,947265625

 

Opisany powyżej sposób ma poważną wadę - musimy zmieniać kierunek przeglądania cyfr w zapisie liczby. Często kolejne cyfry otrzymujemy odczytując je z urządzenia wejściowego (np. klawiatury) i nie ma możliwości zmiany kierunku przeglądania. Dlatego zastosujemy inne podejście do problemu. Wielomian tworzący wartość liczby pomnóżmy przez wagę ostatniej pozycji, a następnie podzielmy przez tą wagę. Jeśli jakiekolwiek wyrażenie pomnożymy i podzielimy przez tą samą liczbę różną od zera, to wartość tego wyrażenia nie ulegnie zmianie.


c
n-1...c0c-1...c-m = (cn-1pn-1 + ... + c0p0 + c-1p-1 + ... + c-mp-m) p-m / p-m


Dzielenie przez p-m jest równoważne mnożeniu przez pm.


c
n-1...c0c-1...c-m = (cn-1pn-1 + ... + c0p0 + c-1p-1 + ... + c-mp-m) p-mpm


Teraz wymnażamy wielomian w nawiasie przez pm i otrzymujemy:


c
n-1...c0c-1...c-m = (cn-1pn-1pm + ... + c0p0pm + c-1p-1 pm+ ... + c-mp-mpm) p-m


Po uproszczeniu:


c
n-1...c0c-1...c-m = (cn-1pn-1+m + ... + c0pm + c-1p-1+m+ ... + c-mp0) p-m


Co otrzymaliśmy w nawiasie? Jest to wartość liczby całkowitej, której zapis zbudowany jest ze wszystkich cyfr liczby stałoprzecinkowej po pominięciu przecinka. Jak wynika ze wzoru wartość tę należy pomnożyć przez wagę ostatniej pozycji. W efekcie dochodzimy do wniosku, iż wartość liczby stałoprzecinkowej można obliczać algorytmem Hornera identycznie jak liczby całkowitej. Na końcu wynik należy pomnożyć przez wagę ostatniej pozycji. Jest to znaczne ułatwienie w stosunku do poprzedniego przykładu, ponieważ cyfry możemy kolejno pobierać. Zmodyfikowany algorytm Hornera będzie więc następujący:

 

Zmodyfikowany algorytm Hornera obliczania wartości liczby stałoprzecinkowej

n - liczba cyfr w części całkowitej
m - liczba cyfr w części ułamkowej
p - podstawa systemu pozycyjnego, w którym jest zapisana liczba
ci - cyfra stojąca na i-tej pozycji. Pozycja o numerze 0 jest pierwszą pozycją od strony prawej.
w - obliczana wartość liczby

  1. w ← 0
  2. in - 1
  3. wci + w × p
  4. jeśli i = -m, to ww x p-m i kończymy
  5. ii - 1
  6. wróć do punktu 3

 

Przykład

Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera wartość liczby 237,745 zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p=8.

w ← 0
w ← 2 + 0 × 8 = 2
w ← 3 + 2 × 8 = 19
w ← 7 + 19 × 8 = 159
w ← 7 + 159 × 8 = 1279  (od tego momentu występują cyfry części ułamkowej)|
w ← 4 + 1279 × 8 = 10236
w ← 5 + 10236 × 8 = 81893 (ostatnia cyfra, kończymy)
w ← 81893 × 1/512 = 159 485/512 =  159,947265625

 

Otrzymaliśmy identyczny wynik jak w poprzednim przykładzie, ale teraz nie musieliśmy rozbijać wątku obliczeniowego na dwie części - osobną dla części całkowitej i osobną dla części ułamkowej.

 

Obliczanie rozwinięcia liczby w dowolnym systemie pozycyjnym

Nauczyliśmy się obliczyć wartość liczby zapisanej w dowolnym systemie pozycyjnym. Jak jednak znaleźć postać zapisu wartości liczby w dowolnym systemie pozycyjnym. Najpierw zdefiniujmy dokładnie problem:

Dana jest dowolna wartość całkowita w0. Szukamy jej przedstawienia w systemie pozycyjnym o podstawie p. Zapis tej liczby będzie się składał z ciągu cyfr systemu p. Nie wiemy jakie są to cyfry i ile ich jest, ale możemy zapisać je symbolicznie jako: cn-1cn-2...c2c1c0, gdzie n oznacza ilość tych cyfr. Skoro tak, to wartość w musi być równa:


w
0 = cn-1pn-1 + cn-2pn-2 + ... + c2p2 + c1p1 + c0p0, a po pominięciu w zapisie p0 i przyjęciu p1 = p
w0 = cn-1pn-1 + cn-2pn-2 + ... + c2p2 + c1p + c0


Teraz wykonamy dzielenie całkowite tego wielomianu przez wartość p. W wyniku otrzymamy nową wartość w1 równą:


w
1 = w0 / p = cn-1pn-1 / p + cn-2pn-2 / p + ... + c2p2 / p + c1p / p + c0 / p


Ponieważ dla każdego systemu pozycyjnego wartość podstawy p jest o 1 większa od wartości największej cyfry, więc c0 nie dzieli się przez p i jest resztą z dzielenia. Pozostałe wyrazy dzielą się przez p i otrzymujemy nową wartość w1:


w
1 = cn-1pn-2 + cn-2pn-3  + ... + c2p + c1 i reszta z dzielenia całkowitego równa c0


Po pierwszym podzieleniu stopień wielomianu spadł o 1 oraz otrzymaliśmy jako resztę wartość ostatniej cyfry w systemie pozycyjnym o podstawie p. Kontynuujemy więc to samo postępowanie z nową wartością wielomianu w1:


w
2 = w1 / p = cn-1pn-2 / p + cn-2pn-3 / p + ... + c2p / p + c1 / p
w2 = cn-1pn-3  + cn-2pn-4  + ... + c2p i reszta zdzielenia całkowitego równa c1


Mamy już drugą cyfrę. Kontynuujemy w identyczny sposób, aż w końcu otrzymamy wartość wn-1 = 0. Kolejne cyfry będą resztami z dzielenia przez p. Ujmijmy tę metodę w formę algorytmu:

 

Znajdowanie rozwinięcia liczby w systemie pozycyjnym o podstawie p

w - wartość liczby
p - podstawa systemu pozycyjnego
ci - cyfra na i-tej pozycji w systemie pozycyjnym o podstawie p

  1. i ← 0
  2. ci ← reszta z dzielenia w / p
  3. w ← wynik dzielenia całkowitego w / p
  4. jeśli w = 0, to kończymy, wszystkie cyfry znalezione
  5. ii + 1
  6. wróć do punktu 2

 

Przykład

Przeliczyć wartość 12786 na system piątkowy.

w
← 12786 / 5 = 2557 i reszta 1
w ← 2557 / 5 = 511 i reszta 2
w ← 511 / 5 = 102 i reszta 1
w ← 102 / 5 = 20 i reszta 2
w ← 20 / 5 = 4 i reszta 0
w ← 4 / 5 = 0 i reszta 4 (koniec obliczeń, ponieważ otrzymaliśmy wartość 0)
 

12786(10) = 402121(5)

 

Przeliczyć wartość 86597 na system dwójkowy.

w
← 86597 / 2 = 43298 i reszta 1
w ← 43298 / 2 = 21649 i reszta 0
w ← 21649 / 2 = 10824 i reszta 1
w ← 10824 / 2 = 5412 i reszta 0
w ← 5412 / 2 = 2706 i reszta 0
w ← 2706 / 2 = 1353 i reszta 0
w ← 1353 / 2 = 676 i reszta 1
w ← 676 / 2 = 338 i reszta 0
w ← 338 / 2 = 169 i reszta 0
w ← 169 / 2 = 84 i reszta 1
w ← 84 / 2 = 42 i reszta 0
w ← 42 / 2 = 21 i reszta 0
w ← 21 / 2 = 10 i reszta 1
w ← 10 / 2 = 5 i reszta 0
w ← 5 / 2 = 2 i reszta 1
w ← 2 / 2 = 1 i reszta 0
w ← 1 / 2 = 0 i reszta 1 (koniec)

86597
(10) = 10101001001000101(2)

 

Zapis liczby całkowitej w innym systemie pozycyjnym

INSTRUKCJA:

 

Do pierwszego pola u góry wprowadź nieujemną wartość całkowitą. Wybierz podstawę docelowego systemu pozycyjnego i kliknij przycisk konwersji. W dolnym polu zobaczysz zapis twojej wartości w wybranym systemie pozycyjnym.

Wartość dziesiętna liczby

podstawa =
 

 


Zapis liczby w systemie pozycyjnym
o zadanej podstawie

 

JavaScript - (C)2002 Jerzy Wałaszek

 

Powyższe reguły pozwalają nam znaleźć rozwinięcie wartości całkowitej w dowolnym systemie pozycyjnym. Co jednak z wartościami niecałkowitymi? Tutaj musimy zastosować pewną umowę. Będziemy dokonywać rozwinięć z określoną ilością miejsc po przecinku. Założenie to jest ważne, ponieważ niektóre wartości mają nieskończone rozwinięcia w danym systemie pozycyjnym - np. rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/3 jest liczbą okresową i nieskończoną 0,3333... Skorzystamy z następującej własności zapisu liczby w dowolnym systemie pozycyjnym:

 

Jeśli wartość w ma w danym systemie pozycyjnym o podstawie p rozwinięcie cn-1cn-2...c1c0, to pomnożenie tej wartości przez podstawę systemu p spowoduje w rozwinięciu przesunięcie wszystkich cyfr o jedną pozycję w lewo, czyli nowa wartość będzie mieć w tym systemie rozwinięcie cn-1cn-2...c1c00. Jeśli mnożenie wykonamy przez potęgę podstawy pm, m > 0, to cyfry przesuną się o m miejsc w lewo.

 

Co z tego wynika? To proste. Przed wykonaniem rozwinięcia danej liczby mnożymy ją przez podstawę systemu docelowego podniesioną do potęgi równej liczbie miejsc po przecinku, które mają się znaleźć w rozwinięciu liczby. Następnie dokonujemy rozwinięcia części całkowitej nowej wartości wg starych zasad. W rozwinięciu odkładamy po przecinku odpowiednią ilość ostatnich cyfr.

 

Przykład

Znaleźć rozwinięcie liczby 12 8/9 na system trójkowy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

w
← 12 8/9 x 32 = 12 8/9 x 9 = 116 (mnożymy przez podstawę podniesioną do odpowiedniej potęgi)
w ← 116 / 3 = 38 i reszta 2
w ← 38 / 3 = 12 i reszta 2
w ← 12 / 3 = 4 i reszta 0
w ← 4 / 3 = 1 i reszta 1
w ← 1 / 3 = 0 i reszta 1 (koniec)

Otrzymaliśmy kolejne cyfry 11022. Dwie ostatnie cyfry umieszczamy po przecinku. Więc ostatecznie:

12 8/9
= 110,22(3)

 

Znaleźć rozwinięcie liczby 1/10 na system dwójkowy z dokładnością do 8 miejsc po przecinku.

w
1/10 x 28 = 1/10 x 256 = 256/10 = 25 (zaokrąglamy do wartości całkowitej)
w 25 / 2 = 12 i reszta 1
w ←12 / 2 = 6 i reszta 0
w ←6 / 2 = 3 i reszta 0
w ←3 / 2 = 1 i reszta 1
w ←1 / 2 = 0 i reszta 1 (koniec)

Otrzymaliśmy cyfry 11001. Jest ich za mało, więc dopisujemy na początku odpowiednią liczbę zer. Takie dopisanie zer nie zmienia wartości liczby.

1
/10
= 0,00011001(2)

 

Zwróćcie uwagę na ciekawy fakt, iż w systemie dwójkowym rozwinięcie wartości 1/10 jest nieskończone (0,000110011001100110011...(2)). Skoro tak, to nie może być dokładnie przedstawione na dowolnej, skończonej liczbie miejsc po przecinku. Dlatego otrzymane przez nas rozwinięcie tej wartości nie jest dokładne (co można prosto sprawdzić obliczając wartość tej liczby dwójkowej, która wyniesie 25/256). Z tego powodu ułamki dziesiętne źle konwertują się na system dwójkowy, co powoduje błędy zaokrągleń przy obliczeniach numerycznych.

 

Zapis liczby stałoprzecinkowej w innym systemie pozycyjnym

INSTRUKCJA:

 

Do pierwszego pola u góry wprowadź nieujemną wartość stałoprzecinkową. Jako przecinek użyj znaku kropki. Wybierz podstawę docelowego systemu pozycyjnego oraz precyzję (liczbę miejsc po przecinku) i kliknij przycisk konwersji. W dolnym polu zobaczysz zapis twojej wartości w wybranym systemie pozycyjnym.

Wartość liczby w systemie dziesiętnym

podstawa =  precyzja =
 

 
 

Zapis liczby w systemie pozycyjnym
o zadanej podstawie

 

JavaScript - (C)2002 Jerzy Wałaszek

 

Zapis zmiennoprzecinkowy

Z zapisem zmiennoprzecinkowym możesz spotkać się na lekcjach fizyki, gdzie przy jego pomocy przedstawia się albo bardzo duże wartości, albo bardzo małe. Zapis ten nazywa się często notacją naukową:


Gwiazda Proxima Centauri znajduje się w odległości 9460800000000 [km], czyli 9,4608 × 1012.

Masa elektronu wynosi me = 0,00000000000000000000000000091095 [g], czyli  9,1095 × 10-28 [g]


Liczba zapisana w systemie zmiennoprzecinkowym składa się z dwóch części: liczby stałoprzecinkowej, której wartość bezwzględna jest mniejsza od wartości podstawy systemu pozycyjnego oraz z podstawy podniesionej do pewnej potęgi zwanej wykładnikiem lub cechą. Wartość liczby jest równa iloczynowi części stałoprzecinkowej i wykładniczej:
 

w = m × pem - mantysa, p - podstawa systemu, e - wykładnik potęgowy.


Z poprzedniego rozdziału wiemy, iż pomnożenie wartości liczby przez podstawę systemu powoduje przesunięcie wszystkich jej cyfr o jedno miejsce w lewo. Podobnie podzielenie tej wartości przez podstawę powoduje przesunięcie wszystkich cyfr w prawo. Własność ta pozwala nam w prosty sposób przekształcać liczby z postaci stałoprzecinkowej na zmiennoprzecinkową. Działanie to wykonujemy dotąd, aż otrzymamy największą wartość stałoprzecinkową na moduł mniejszą od 1 (jest to tzw. postać znormalizowana liczby zmiennoprzecinkowej). Musimy jedynie pamiętać iż podstawę i potęgę również zapisujemy w tym samym systemie pozycyjnym, co część stałoprzecinkową. Zatem zapis:

3,21 × 1012(4)

nie oznacza mnożenia części ułamkowej przez 1012 (1.000.000.000.000), jak myślą uczniowie, lecz przez 46 (4096). A to jest przecież bardzo istotna różnica!!!

 

Przykład

Przedstawić liczbę 5420000000(8) w ósemkowej notacji zmiennoprzecinkowej.

5420000000
(8) = 5420000000(8) × 100(8)
5420000000(8) = 542000000(8) × 101(8) - przesuwamy cyfry w prawo i dodajemy 1 do wykładnika
5420000000(8) = 54200000(8) × 102(8)
5420000000(8) = 5420000(8) × 103(8)
5420000000(8) = 542000(8) × 104(8)
5420000000(8) = 54200(8) × 105(8)
5420000000(8) = 5420(8) × 106(8)
5420000000(8) = 542(8) × 107(8)
5420000000(8) = 54,2(8) × 1010(8)
5420000000(8) = 5,42(8) × 1011(8) 
5420000000(8) = 0,542(8) × 1012(8) - kończymy, gdyż osiągnęliśmy postać znormalizowaną

 

Przedstawić liczbę 0,00000FD56(16) w szesnastkowej notacji zmiennoprzecinkowej.

0
,00000FD56(16) = 0,00000FD56(16) × 100(16)
0,00000FD56(16) = 0,0000FD56(16) × 101(16)
0,00000FD56(16) = 0,000FD56(16) × 102(16)
0,00000FD56(16) = 0,00FD56(16) × 103(16)
0,00000FD56(16) = 0,0FD56(16) × 104(16)
0,00000FD56(16) = 0,FD56(16) × 105(16)  - kończymy na wartości znormalizowanej

 

Z przedstawionych przykładów wynika prosta reguła przekształcania postaci stałoprzecinkowej na zmiennoprzecinkową:

 

Zamiana zapisu stałoprzecinkowego na zmiennoprzecinkowy:

Przypadek 1

Liczba stałoprzecinkowa na moduł większa od zera.  Oznaczmy przez n ilość cyfr części całkowitej. Wtedy przecinek w zapisie stałoprzecinkowym przesuwamy o n pozycji w lewo. Wykładnik potęgowy jest równy e = n
 

12,57 = 0,1257 × 102, e = 2,
134000
= 0,134 × 106, e = 6

21211,2(3) = 0,212112(3) × 1012(3), n = 5, e = 12(3) = 5
110001,01(2) = 0,11000101(2) × 10110(2), n = 6, e =  110(2) = 6

 

Przypadek 2

Liczba stałoprzecinkowa na moduł jest mniejsza od zera. Oznaczmy przez n ilość zer po przecinku. Przecinek przesuwamy o n pozycji w prawo. Wykładnik potęgowy równy jest e = -n:
 

0,000046 = 0,46 × 10-4, n = 4

0,00000000763(8) = 0,763(8) × 10-10(8), n = 8, e = -10(8) = -8
0,000001101(2) = 0,1101(2) × 10-101(2), n = 5, e = -101(2) = -5

 

Obliczenie wartości liczby zmiennoprzecinkowej zapisanej w danym systemie pozycyjnym o podstawie p sprowadza się do obliczenia wartości części stałoprzecinkowej m oraz wartości wykładnika e. Następnie stosujemy wzór na wartość liczby zmiennoprzecinkowej w = m × pe.

 

Przykład

Obliczyć wartość liczby zmiennoprzecinkowej 0,111(2) × 10111(2).

m
= 0,111(2) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

e = 111(2) = 4 + 2 + 1 = 7

p = 10(2) = 2(10)

więc

w
= m × pe = 7/8 × 27 = 7/8 × 128 = 896/8 = 112(10)

0,111(2) × 10111(2).= 112(10)

 

Naturalny system dwójkowy

Obliczanie wartości liczb binarnych

Jeśli dobrnąłeś do tego miejsca, to reszta materiału będzie już dla ciebie zupełnie prosta. System dwójkowy ma dla nas specjalne znaczenie, ponieważ jest podstawą wszystkich obliczeń wykonywanych przez komputer.

Cechy charakterystyczne dwójkowego systemu pozycyjnego, to:


p
= 2, zbiór cyfr c - {0,1}


Wartość liczby całkowitej w zapisie dwójkowym obliczamy według wzoru podstawowego:


n
- liczba cyfr, które w systemie dwójkowym będziemy nazywali bitami

 

cn-1cn-1...c2c1c0 = c020 + c121 + c222 + ... + cn-22n-2 + cn-12n-1 = n-1

i = 0
ci2i

lub poznanym wcześniej algorytmem Hornera.

 

Przykład

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 110111(2) za pomocą wzoru potęgowego i algorytmu Hornera.

1. Wzór potęgowy.

p = 2, c - {0,1}

110111(2) = 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 + 1 × 24 + 1 × 2 5
110111(2) = 1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16 + 1 × 32
110111(2) = 1 + 2 + 4 + 16 + 32
110111(2) = 55(10)

 

2. Algorytm Hornera

w ← 0
w 1 + 0 × 2 = 1
w 1 + 1 × 2 = 3
w 0 + 3 × 2 = 6
w 1 + 6 × 2 = 13
w 1 + 13 × 2 = 27
w 1 + 27 × 2 = 55 (koniec, wyczerpano wszystkie cyfry)

110111(2) = 55(10)

 

Zakres n-bitowych liczb binarnych

Zastanówmy się teraz jaki jest zakres wartości dla n bitów. Najmniejszą liczbą będzie oczywiście 0. Największa liczba posiada wszystkie cyfry maksymalne, więc w systemie dwójkowym będą to cyfry 1.


min
n-bitów = 0

maxn-bitów = 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 + ... + 1 × 2n-2 + 1 × 2n-1
maxn-bitów = 1 + 2 + 4 + ... + 2n-2 + 2n-1


Zwróćcie uwagę, iż suma dowolnej ilości początkowych składników tego szeregu jest o 1 mniejsza od wyrazu następnego:


1
= 2 - 1
1 + 2 = 4 - 1
1 + 2 + 4 = 8 - 1
...
1 + 2 + 4 + ... + 2n-2 = 2n-1 - 1
1 + 2 + 4 + ... + 2n-2 + 2n-1 = 2n - 1 = maxn-bitów

 

Zapamiętaj!

Na n bitach można zapisać w naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału:
 

(0, 2n - 1)

 

Obliczanie wartości binarnych liczb stałoprzecinkowych

Kolejnym zagadnieniem są dwójkowe liczby stałoprzecinkowe. Zapis ten omówiliśmy już wcześniej dla przypadku ogólnego. Wartość liczby stałoprzecinkowej o n bitach całkowitych i m bitach po przecinku możemy obliczyć tradycyjnie wzorem potęgowym:
 

cn-1...c1c0 , c-1c-2...c-m = c-m2-m + ...+ c-22-2 + c-12-1 + c020 + c121 + ...+ cn-12n-1 = n-1

i = -m
ci2i

lub przy pomocy algorytmu Hornera dla liczb stałoprzecinkowych.

 

Przykład

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11101,011(2) za pomocą wzoru potęgowego i algorytmu Hornera.

1. Wzór potęgowy

11101,011(2) = 1 × 2-3 + 1 × 2-2 + 0 × 2-1 + 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24
11101,011(2) = 1 × 1/8 + 1 × 1/4 + 0 × 1/2 + 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × 4 + 1 × 8 + 1 × 16
11101,011(2)  = 1/8 + 1/4 + 1 + 4 + 8 + 16
11101,011(2) = 29 3/8

 

2. Algorytm Hornera

w ← 0
w 1 + 0 × 2 = 1
w 1 + 1 × 2 = 3
w 1 + 3 × 2 = 7
w 0 + 7 × 2 = 14
w 1 + 14 × 2 = 29,   (tutaj kończy się część całkowita)
w0 + 29 × 2 = 58
w 1 + 58 × 2 = 117
w 1 + 117 × 2 = 235 (koniec części ułamkowej)
w ← 235 × 2-3 = 235/8 = 29 3/8 (wynik mnożymy przez wagę ostatniej cyfry)

11101,011(2) = 29 3/8

 

Zakres binarnych liczb stałoprzecinkowych

Problem jest następujący: mamy do dyspozycji n bitów dla części całkowitej oraz m bitów dla części ułamkowej. Jaki jest zakres liczb, które można przedstawić za pomocą wymienionych bitów w dwójkowym zapisie stałoprzecinkowym. Dzielimy liczbę stałoprzecinkową na dwie części: część całkowitą oraz część ułamkową:
 

liczba stałoprzecinkowa = część całkowita + część ułamkowa.


Najmniejszą liczbą jest oczywiście 0 (wszystkie bity mają wartość 0). Największa liczba powstanie wtedy, gdy zarówno część całkowita jak i ułamkowa będą największe. Czyli:


min
n,m - bitów = 0

minn,m - bitów = mincałkowita + minułamkowa


Maksymalną wartość dla części całkowitej wyprowadziliśmy w poprzednim podrozdziale:


max
całkowita = 2n-1


Teraz zajmiemy się częścią ułamkową. Część ta przyjmie największą wartość, gdy wszystkie cyfry będą maksymalne, czyli będą wynosić 1. Rozpiszmy wzór na wartość części ułamkowej:


max
ułamkowa = 1 × 2-1 + 1 × 2-2 + 1 × 23 + ... + 1 × 2 -m
maxułamkowa = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2-m


Możemy zauważyć iż suma dowolnej liczby początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 1 - ostatni wyraz tego ciągu:


1
/2 = 1 - 1/2
1/2 + 1/4 = 3/4 = 1 - 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 - 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2m = 1 - 1/2m = (2m - 1) / 2m = maxułamkowa


Wiec ostatecznie:


max
n,m bitów = maxcałkowita + maxułamkowa= 2n - 1 +(2m - 1) / 2m

 

Zapamiętaj!

Na n bitach całkowitych i m bitach ułamkowych  można zapisać w binarnym kodzie stałoprzecinkowym liczby z przedziału:
 

(0, 2n - 1 + (2m - 1)/2m)

 

Dodawanie liczb binarnych

Dotychczas omawialiśmy jedynie postać liczb w różnych systemach pozycyjnych. Nie mówiliśmy nic na temat zasad wykonywania na tych liczbach działań arytmetycznych. W zasadzie działania te nie różnią się niczym od wyuczonego przez nas schematu obliczeń - we wszystkich systemach pozycyjnych rachunki wykonuje się podobnie. Jeśli chcemy wykonywać w danym systemie pozycyjnym dodawanie, to najpierw musimy wyuczyć się tabliczki dodawania. Dla systemu dziesiętnego tabliczka ta składa się ze stu pozycji - każda cyfra z każdą. Na pewno śniła wam się po nocach w czasie nauki arytmetyki w szkole podstawowej. W systemie dwójkowym na szczęście mamy tylko dwie cyfry, więc tabliczka dodawania jest zupełnie prosta:
 

Tabliczka dodawania
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

 

Mając tabliczkę dodawania możemy przystąpić do wykonywania rachunków:
 

  0101= 5(10)
+ 0110= 6(10)
  1011=11(10)
  1100=12(10)
+ 0011= 3(10)
  1111=15(10)
  1010=10(10)
+ 1010=10(10)
 10100=20(10)
  1111=15(10)
+ 0001= 1(10)
 10000=16(10)

 

Przy dodawaniu 1 + 1 występuje tzw. przeniesienie do następnej kolumny - w bieżącej kolumnie zapisujemy 0, a 1 dodajemy w następnej kolumnie. Identycznie postępujemy przy dodawaniu w naszym systemie dziesiętnym.

 

Mnożenie liczb binarnych

Wbrew pozorom mnożenie liczb dwójkowych jest bardzo proste - nawet dużo prostsze niż w naszym systemie dziesiętnym. Najpierw musimy nauczyć się tabliczki mnożenia:

 

Tabliczka mnożenia
0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

 

Zasady mnożenia binarnego są identyczne z zasadami w systemie dziesiętnym. Wymnażamy przez siebie kolejne cyfry mnożnej i mnożnika, a iloczyny częściowe dodajemy.

 

     0101 =  5(10)
x    0110 =  6(10)
     0000
    0101
   0101
+ 0000   
  0011110 = 30(10)

 

W mnożeniu uczestniczą tylko cyfry 1. Dla cyfry 0 wynik jest zerowy i można go pominąć. Wynika stąd bardzo prosta zasada dla systemu binarnego: przeglądamy od strony prawej kolejne cyfry mnożnika. Gdy natrafimy na 1, to przepisujemy na dole cyfry mnożnej przesunięte na kolumnę mnożącej cyfry. Przypadek ten zaznaczyliśmy na słupku mnożenia.

 

Konwersja dwójkowo ósemkowa oraz dwójkowo szesnastkowa

Przyglądając się liczbom binarnym bardzo łatwo zauważyć fakt, iż dla ludzi są one mało czytelne. Nasz mózg lubi różnorodność i w gąszczu zer oraz jedynek bardzo łatwo nam się pogubić. Programiści, którzy muszą operować bitami (np. przy programowaniu różnych portów I/O) wymyślili na to lekarstwo - zamiast zapisywać liczby w systemie dwójkowym zapisują je w systemie ósemkowym lub szesnastkowym. Na pierwszy rzut oka wydaje się to dziwne. Ale zobaczymy zaraz, iż ma sens i w sumie jest dosyć proste.

Podstawa systemu ósemkowego i szesnastkowego jest potęgą podstawy systemu binarnego. Konwersja pomiędzy systemami pozycyjnymi, które mają tę własność jest bardzo prosta.

 

Konwersja dwójkowo ósemkowa i ósemkowo dwójkowa

cyfry ósemkowe
cyfra wartość
0 000(2)
1 001(2)
2 010(2)
3 011(2)
4 100(2)
5 101(2)
6 110(2)
7 111(2)

 

Mamy liczbę binarną 110101111011010101011101(2) i chcemy zapisać ją w systemie ósemkowym. Najpierw zbudujemy tablicę przeliczeń cyfr ósemkowych na ich wartość w systemie dwójkowym. Każdej cyfrze ósemkowej będą odpowiadały trzy cyfry dwójkowe. Następnie dzielimy liczbę dwójkową na grupy po trzy cyfry dwójkowe. Dzielenie rozpoczynamy od strony prawej:


110 101 111 011 010 101 011 101
(2)


Każdą grupę trzech cyfr binarnych zastępujemy jedną cyfrą ósemkową zgodnie z tabelką wartości cyfr:
 

110
¯
6
101
¯
5
111
¯
7
011
¯
3
010
¯
2
101
¯
5
011
¯
3
101
¯
5

 

Otrzymana liczba jest zapisem danej liczby binarnej w systemie ósemkowym, czyli:
 

110101111011010101011101(2) = 65732535(8)
 

Zapis ósemkowy jest dla nas bardziej czytelny - przypomina nam nasz własny system i zmniejsza możliwość popełnienia błędu przy zapisie (przecież bardzo łatwo zgubić w systemie dwójkowym jedno zero lub jedynkę). I o to chodzi.

W drugą stronę postępujemy odwrotnie. Jeśli mamy daną liczbę ósemkową, np. 752401(8), to każdą jej cyfrę zastępujemy grupą trzech cyfr dwójkowych z tabelki. Grupy te łączymy ze sobą i otrzymujemy w wyniku zapis dwójkowy tej samej wartości.
 

7
¯
111
5
¯
101
2
¯
010
4
¯
100
0
¯
000
1
¯
001


752401
(8) = 111101010100000001(2)

 

Konwersja dwójkowo szesnastkowa i szesnastkowo dwójkowa

cyfry szesnastkowe
cyfra wartość cyfra wartość
0 0000(2) 8 1000(2)
1 0001(2) 9 1001(2)
2 0010(2) A 1010(2)
3 0011(2) B 1011(2)
4 0100(2) C 1100(2)
5 0101(2) D 1101(2)
6 0110(2) E 1110(2)
7 0111(2) F 1111(2)

 

Drugim często używanym systemem pozycyjnym przy operowaniu na wartościach dwójkowych jest system szesnastkowy. Przy konwersji postępujemy identycznie jak w poprzednim przypadku, tylko teraz jedna cyfra szesnastkowa zastępuje grupę 4 cyfr dwójkowych. Zamieńmy na system szesnastkowy tę samą liczbę dwójkową, co poprzednim razem:


1101 0111 1011 0101 0101 1101
(2)
 

1101
¯
D
0111
¯
7
1011
¯
B
0101
¯
5
0101
¯
5
1101
¯
D


110101111011010101011101
(2) = D7B55D(16)

 

I odwrotnie, zamieńmy liczbę szesnastkową A68F27(16) na binarną:

A
¯
1010
6
¯
0110
8
¯
1000
F
¯
1111
2
¯
0010
7
¯
0111

Czyli A68F27(16) = 101001101000111100100111(2)

 

Kodowanie dwójkowe liczb ze znakiem

Dotychczas opisany sposób kodowania dwójkowego umożliwia przedstawianie liczb dodatnich i zera. Z drugiej strony wiemy, jak ważne w zastosowaniach są liczby ujemne. W systemie dziesiętnym sprawę rozwiązaliśmy przez wprowadzenie znaku przed zapisem cyfr liczby. Jeśli liczby chcemy przetwarzać za pomocą komputera, to mamy do dyspozycji jedynie bity o wartościach 0 lub 1. Bity mogą kodować cyfry dwójkowe, ale brakuje tutaj wartości dla znaku '+' lub '-'. Jak więc rozwiązano ten problem? Niestety musimy odejść nieco od naturalnego systemu dwójkowego i wprowadzić kilka dodatkowych ustaleń.

  1. Kodowanie liczb dodatnich i ujemnych opiera się na stałym formacie zapisu liczby. Oznacza to, iż z góry ustala się liczbę cyfr używanych do zapisu wartości, np. 8, 16, 24, 32, ... Jeśli wybierzemy jeden format, to musimy się go ściśle trzymać.
  2. Najstarsza cyfra dwójkowa (bit) ma inne znaczenie niż reszta cyfr i pełni funkcję bitu znaku. Jeśli bit ten ma wartość 0, to liczba jest dodatnia. Jeśli ma wartość 1, to liczba jest ujemna. W ten sposób kodujemy nasze znaki + i -.

Istnieją dwa główne sposoby kodowania liczb ze znakiem - kod ZNAK-MODUŁ, kod U2.

 

Kod ZNAK-MODUŁ

W systemie tym stosujemy bardzo prostą metodę kodowania liczb ze znakiem. Najstarszy bit liczby jest bitem znaku. Reszta bitów określa wartość bezwzględną (moduł) liczby: Jeśli przyjmiemy do zapisu liczb format całkowity n-bitowy, to liczby w kodzie znak-moduł mają następującą postać:

 

cn-1 cn-2cn-3...c2c1c0
znak moduł

 

Wartość n-bitowej, całkowitej liczby w dwójkowym kodzie znak-moduł obliczamy wg wzoru:
 

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0 = (1 - 2 × cn-1) ×  n-2

i = 0
ci2i

 

Wyrażenie (1 - 2 × bit znaku) przyjmuje odpowiednio wartość 1, gdy bit znaku jest równy 0, a  -1, gdy bit znaku ma wartość 1, czyli określa liczbę ujemną. W dalszej części wzoru mamy obliczanie wartości pozostałych bitów, czyli modułu. Moduł jest przemnażany przez wyrażenie znakowe i w efekcie otrzymujemy wartość dodatnią lub ujemną w zależności od stanu bitu znaku.

 

Przykład

n = 4 bity

0110(z-m) = (1 - 2 × 0) x (0 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22)
0110(z-m) = (1 - 2 × 0) x (0 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4)
0110(z-m) = 1 × ( 2 + 4)
0110(z-m) = 6(10)

1011(z-m) = (1 - 2 × 1) × (1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22)
1011(z-m) = (1 - 2 × 1) × (1 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4)
1011(z-m) = -1 × (1 + 2)
1011(z-m) = -3(10)

 

Jeśli chcemy daną wartość przedstawić w dwójkowym kodzie znak-moduł, to najpierw znajdujemy przedstawienie dwójkowe modułu tej wartości, następnie uzupełniamy bity do zadanego formatu i dodajemy bit znaku 0 dla wartości dodatniej lub 1 dla ujemnej.

 

Przykład

Przedstawić wartość -69 w 8-bitowym kodzie znak-moduł.

1. Znajdujemy przedstawienie dwójkowe modułu

w
← 69 / 2 = 34 i reszta 1
w ← 34 /2 = 17 i reszta 0
w ← 17 / 2 = 8 i reszta 1
w ← 8 / 2  = 4 i reszta 0
w ← 4 / 2 = 2 i reszta 0
w ← 2 / 2 = 1 i reszta 0
w ← 1 / 2 = 0 i reszta 1

69(10) = 1000101(2)

2. Otrzymaną liczbę dwójkową uzupełniamy bitem znaku i otrzymujemy:

-69
(10) = 11000101(z-m)

 

Teraz sprawdzimy, jak zachowują się liczby w kodzie znak-moduł przy wykonywaniu dodawania. Dodajmy do siebie dwie 4-bitowe liczby w tym kodzie o wartości 3 i -3.
 

  0011(z-m) =  3(10)
+ 1011(z-m) = -3(10)
  1110(z-m) = -6(10)

 

Otrzymany przez nas wynik jest oczywiście błędny. Oznacza to, iż nie możemy w zwykły sposób dodawać dowolnych liczb zapisanych w tym kodzie. Stanowi to poważne utrudnienie w obliczeniach komputerowych. Dlatego zastosowanie kodu znak-moduł jest ograniczone.

 

Zakres n-bitowych liczb w kodzie ZNAK-MODUŁ

Zakres liczb Z-M wynika bezpośrednio ze wzoru obliczeniowego. Wartość maksymalną otrzymamy przy znaku dodatnim i maksymalnym module. Wartość minimalną otrzymamy przy znaku ujemnym i również maksymalnym module. Ponieważ moduł jest o jeden bit mniejszy niż wynosi długość liczby Z-M, to

 

maxZ-M = 2n-1 - 1,  minZ-M = -2n-1 + 1

 

Np. dla n = 8 mamy:


max
Z-M 8b = 28-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127
minZ-M 8b = -28-1 + 1 = -27 + 1 = -128 + 1 = -127


Zwróćcie uwagę, iż w kodzie Z-M można na dwa sposoby zapisać wartość 0, raz z bitem znaku 0, i raz z bitem znaku 1, np. dla n=4:


0000
Z-M = 0 (zero dodatnie)
1000Z-M = 0 (zero ujemne, ale też zero)


Jest to nieefektywność kodu Z-M, ponieważ tracimy jeden wyraz kodowy, co zmniejsza ilość możliwych do zawarcia w tym kodzie informacji (tzn. możemy zakodować mniej liczb).

 

Kod U2

Wniosek z rozdziału o liczbach w kodzie Z-M jest pesymistyczny. Wymyśliliśmy sposób kodowania liczb ze znakiem, który jednak sprawia kłopoty przy obliczeniach. Nie może być inaczej, ponieważ bit znaku jest sztucznie dołączony do reszty bitów tworzących wartość liczby. Zachodzi więc pytanie, czy można opracować kodowanie liczb ze znakiem o takiej własności, iż wykonywanie podstawowych działań arytmetycznych na liczbach w tym kodzie prowadzi do poprawnych wyników. Okazuje się, że tak. Kod ten nazwano Kodem Uzupełnień do 2 (lub Uzupełnień do Podstawy), w skrócie U2. Budowa liczby w kodzie U2 jest podobna do kodu znak-moduł. Jednak teraz pozycja znakowa (najstarszy bit) posiada swoją wagę i uczestniczy w wartości liczby jak każda inna pozycja.

Waga pozycji znakowej jest ujemna:

-2n-1
cn-1
2n-22n-3...222120
cn-2cn-3...c2c1c0
znak moduł


Wartość n-bitowej liczby zapisanej w kodzie U2 obliczamy w standardowy sposób: sumując kolejne iloczyny cyfr przez wagi pozycji.
 

cn-1cn-2cn-3...c2c1c0 = cn-1(-2n-1) + n-2

i = 0
ci2i

Przykład

n = 4 bity

0110(U2) = 0 × (-23) + 0 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22
0110(U2) = 0 × (-8) + 0 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4
0110(U2) = 2 + 4
0110(U2) = 6(10)

1110(U2) = 1 × (-23) + 0 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22
1110(U2) = 1 × (-8) + 0 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4
1110(U2) = -8 + 2 + 4
1110(U2) = -2

 

Proszę zwrócić uwagę na istotną różnicę w stosunku do kodu Z-M. Liczby ujemne wyglądają inaczej niż poprzednio. Jak więc kodować liczby w kodzie U2?. Musimy rozpatrzyć dwa przypadki:

 

  1. Liczba jest dodatnia - znajdujemy jej przedstawienie binarne i uzupełniamy zerami do przyjętego formatu. Na przykład przyjmijmy format 4-bitowy i zapiszmy w nim wartość 3:

3(10) = 11(2)
 

Ponieważ format ma 4 bity, to dodajemy na początku dwie cyfry 0 i otrzymujemy liczbę dodatnią w kodzie U2:
 

3(10) = 0011(U2)
 

  1. Liczba jest ujemna. W tym przypadku bit znaku musi mieć wartość 1. Ponieważ stoi on na pozycji o wadze -2n-1, a reszta liczby jest dodawana do tej wagi, to musimy znaleźć taką wartość, która dodana do wagi bitu znaku da nam liczbę kodowaną. Wartość tę kodujemy na pozostałych bitach. Np. zakodujmy liczbę -3 w 4-bitowym kodzie U2. Bit znaku ma wartość -23, czyli -8. Aby otrzymać -3, do -8 musimy dodać liczbę 5 i tę wartość kodujemy na pozostałych bitach:

-8 + 5 = -3
1101(U2) = -3(10)
 

Możemy również znaleźć przedstawienie modułu tej liczby, a następnie wyliczyć wartość przeciwną w kodzie U2 wg przepisu:

 

Aby znaleźć wartość przeciwną w kodzie U2 należy wykonać następujące czynności:

  1. Zamienić wszystkie bity liczby na przeciwne, tzn. 1 na 0 i 0 na 1
  2. Do tak otrzymanej liczby dodać wartość 1

 

Czyli w naszym przykładzie najpierw znajdujemy zapis dwójkowy liczby 3:
 

3(10) = 11(2)


Następnie uzupełniamy cyfry do 4 bitów:


3
(10) = 0011(U2)


Teraz postępujemy zgodnie z opisaną metodą: zamieniamy bity na przeciwne i dodajemy 1
 

  0011(U2) = 3(10)
  1100
+ 0001
  1101(2) = -3(10)


Otrzymaliśmy identyczną liczbę, jak poprzednio.

 

Sprawdźmy teraz jak zachowuje się kodowanie U2 w działaniach arytmetycznych. Dodajmy do siebie liczby 3 i -3 zapisane w kodzie U2:
 

  0011(U2)3(10)
+ 1101(U2) = -3(10)
 10000(U2)0(10) - przeniesienie poza najstarszy bit ignorujemy
 

Otrzymaliśmy poprawny wynik po zignorowaniu przeniesienia poza bit znaku. Można wykazać, iż dodawanie dowolnych liczb w kodzie U2 daje poprawny wynik zawsze wtedy, gdy mieści się on w zakresie liczb dla danego formatu.

 

Zakres n-bitowych liczb w kodzie U2

Największą wartość otrzymamy, gdy bit znaku ma stan 0, a reszta bitów liczby ma stan 1. Ponieważ dla n-bitowego formatu U2 bitych o wartości 1 jest n-1, to
 

maxU2 n-bitów = 2n-1 - 1


A więc tyle samo co w kodzie Z-M. Najmniejszą wartość ujemną otrzymamy, gdy bit znaku przyjmie stan 1, a reszta bitów będzie miała stan 0. Wynika z tego, iż najmniejszą wartością liczby w kodzie U2 jest waga pozycji znakowej.
 

minU2 n-bitów = -2n-1


Dla n = 8 otrzymamy odpowiednio:


max
U2 8b = 28-1 - 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127
minU2 8b = -28-1 = -27 = -128


Zwróćcie uwagę, iż górna i dolna granica liczb są niesymetryczne. W kodzie U2 każda kombinacja kodowa odpowiada dokładnie jednej liczbie - zero nie powtarza się, jak w kodzie Z-M. Jest to więc kod efektywny.

 

Dwójkowy system zmiennoprzecinkowy

Obliczanie wartości dwójkowej liczby zmiennoprzecinkowej

Przyjmijmy następujące ustalenia. Dwójkowa liczba zmiennoprzecinkowa zbudowana jest z dwóch części: z mantysy m i wykładnika  potęgowego e (zwanego również cechą). Ponieważ podstawa systemu liczenia jest znana i wynosi 2, więc nie ma potrzeby umieszczać jej w zapisie liczby. Mantysa m jest liczbą stałoprzecinkową na moduł mniejszą od 1. Wykładnik e jest liczbą całkowitą. Obie części mogą być zapisane np. w kodzie U2 lub kodzie Z-M.
 

wykładnik e mantysa m
n-bitów m-bitów
 liczba zmiennoprzecinkowa 

 

Wartość liczby liczymy wg poznanego wcześniej wzoru:
 

w = m × 2e

 

Określmy teraz sposób obliczania wartości mantysy oraz wykładnika, gdy mamy dany ich zapis w kodzie U2. Niech wykładnik zbudowany będzie z n bitów. Ponieważ jest to liczba całkowita, więc jej wartość obliczamy w poznany wcześniej sposób:
 

e = cn-1cn-2cn-3...c2c1c0 = cn-1(-2n-1) + n-2

i = 0
ci2i

 

Dla przykładowego, 4-bitowego wykładnika wzór ten będzie następujący:
 

e = c3c2c1c0 = c3(-23) + c222 + c121 + c020
e = c3c2c1c0 = c3 × -8 + c2 × 4 + c1 × 2 + c0

 

Mantysa ma być ułamkiem mniejszym na moduł od 1. Jeśli jest zbudowana z m bitów, to waga najstarszego bitu wynosi w kodzie U2 -20, czyli -1. Następna pozycja ma wagę 2-1, czyli 1/2, itd. Rozpiszmy to następująco:
 

m = cn-1 , cn-2cn-3...c2c1c0 = cn-1(-20) + cn-22-1 + cn-32-2 + ... + c22-n+3 + c12-n+2 + c02-n+1

 

Dla przykładowej, 4-bitowej mantysy wzór ten przyjmie następującą postać:


m
= c3 , c2c1c0 = c3(-20) + c22-1 + c12-2 + c02-3
m = c3 , c2c1c0 = c3
× -1 + c2 × 1/2 + c1 × 1/4 + c0 × 1/8
m = c3 , c2c1c0 = - c3 + c2 / 2 + c1 / 4 + c0 / 8
 

Rozważmy teraz kilka przykładowych, 8-bitowych liczb zmiennoprzecinkowych, w których wykładnik i mantysa mają po 4 bity.

 

Przykład

00110111(ZP) = ...?(10)
 

Najpierw wydobywamy z liczby wykładnik e i mantysę m:
 

0011
e
0111
m


Teraz obliczamy kolejno wartość wykładnika i mantysy:


e
= 0011(U2) = 0 × -8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
e = 0011(U2) =  2 + 1
e = 0011(U2) =  3(10)

m = 0,111(U2) = - 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8
m = 0,111(U2) = 1/2 + 1/4 + 1/8
m = 0,111(U2) = 4/8 + 2/8 + 1/8
m = 0,111(U2) = 7/8


Mając wykładnik i mantysę mogę podstawić je do wzoru i obliczyć wartość liczby:


w
= m × 2e
w = 7/8 × 23
w = 7/8 × 8
w = 7, więc ostatecznie:


00110111
(ZP) = 7(10)

 

Obliczanie reprezentacji zmiennoprzecinkowej

Mamy określony format zapisu liczby zmiennoprzecinkowej w systemie dwójkowym. Wiemy, że wykładnik ma zawierać n - bitów w kodzie U2, a cecha m bitów w zapisie stałoprzecinkowym U2. Znajdowanie reprezentacji liczby w zapisie zmiennoprzecinkowym przedstawimy na przykładzie prostego systemu zmiennoprzecinkowego, w którym wykładnik i cecha mają po 4 bity długości. Przykładową liczbą niech będzie wartość 56.

Znajdujemy przedstawienie stałopozycyjne danej wartości w systemie U2. Na razie nie jest istotna liczba bitów wynikowych.
 

w ← 56 / 2 = 28 i reszta 0
w ← 28 / 2 = 14 i reszta 0
w ← 14 / 2 = 7 i reszta 0
w ← 7 / 2 = 3 i reszta 1
w ← 3 / 2 = 1 i reszta 1
w ← 1 / 2 = 0 i reszta 1
 

56(10) = 111000(2) = 0111000(U2) - dodajemy zero, aby zaznaczyć, iż jest to liczba dodatnia.
 

Zapiszemy wzór obliczeniowy, a następnie będziemy przesuwać w prawo cyfry mantysy dodając jednocześnie 1 do wykładnika, aż znacząca jedynka znajdzie się na pozycji o wadze 1/2.
 

0111000,000(U2) =
011100,000(U2) =
01110,000(U2) =
0111,000(U2) =
011,100(U2) =
01,110(U2) =
0,111(U2) =
100000(U2) - pamiętaj, iż podstawa 2 jest zapisana jako 10!
100001(U2) - przesuwamy cyfry mantysy w prawo, zwiększamy wykładnik
100010(U2)
100011(U2)
100100(U2)
100101(U2)
100110(U2) - kończymy, mantysa jest znormalizowana

 

Otrzymujemy więc:

w = 0110  = 6(10)
m = 0,111 = 7/8
,sprawdzamy: 7/8 × 26 = 448/8 = 56

 

Jeśli połączymy te składniki w jeden kod, to otrzymamy postać wynikową w naszym przykładowym, dwójkowym systemie zmiennoprzecinkowym:
 

56(10) = 01100111(ZP) - kolorem zaznaczyliśmy wykładnik i mantysę

 

Dwójkowy kod zmiennoprzecinkowy nie jest kodem dokładnym. Niektórych liczb nie da się w nim przedstawić. Otrzymamy jedynie pewne przybliżenie. Aby zilustrować wam ten problem, spróbujmy zakodować wartość 9 (poprzednio udało się zakodować 56, więc z 9 nie spodziewamy się kłopotów...)


w
← 9 / 2 = 4 i reszta 1
w ← 4 / 2 = 2 i reszta 0
w ← 2 / 2 = 1 i reszta 0
w ← 1 / 2 = 0 i reszta 1


9
(10) = 1001(2) = 01001(U2)

01001,000(U2) =
0100,100(U2) =
010,010(U2) =
01,001(U2) =
0,100(U2) =
100000(U2)
100001(U2)
100010(U2)
100011(U2) , ostatnia jedynka zaraz zniknie!!!
100100(U2) , kończymy

 

Otrzymaliśmy wynik:

w = 0100  = 4(10)
m = 0,100 = 1/2
,sprawdzamy: 1/2 × 24 = 16/2 = 8

 

9(10) =? 01000100(ZP)

 

Co się właściwie stało? Otóż w trakcie normalizowania mantysy nastąpiła utrata precyzji. Aby zapisać poprawnie wartość 9 musimy mieć 4 bity : 1001, a mantysa ma do dyspozycji jedynie 3. Więc ostatnia jedynka nie zmieściła się w przyjętym przez nas formacie zapisu liczb zmiennoprzecinkowych. W efekcie otrzymaliśmy wartość przybliżoną, najbliższą 9 i możliwą do zakodowania w tym systemie. Problem ten jest cechą wszystkich dwójkowych systemów pozycyjnych. Liczby są zapisywane tylko z pewną dokładnością, którą nazywamy precyzją. Oczywiście zwiększając liczbę bitów dla mantysy, zwiększymy rozdzielczość systemu, czyli jego precyzję. Dlatego większość języków programowania stosuje kilka różnych formatów zmiennoprzecinkowych. Np. w języku C++ możesz się spotkać z następującymi formatami:

 

Formaty zmiennoprzecinkowe
Nazwa Zakres Precyzja Liczba bitów
float
double
long double
1,5x10-45...3,4 × 1038
5,0x10-324...1,7 × 10308
3,4x10-4092...1,1 × 104932
7..8 cyfr
15..16 cyfr
19..20 cyfr
32
64
80

 

Ponieważ liczby zmiennoprzecinkowe nie przechowują dokładnych wartości, to obliczenia wykonywane z ich pomocą również nie są dokładne i mogą prowadzić do błędów (np. przy sumowaniu lub mnożeniu dużej ilości czynników). W informatyce stworzono specjalny dział zwany analizą błędów obliczeniowych, który zajmuje się minimalizacją błędów przy obliczeniach.

Typowym przykładem występowania błędów zaokrągleń w systemie zmiennoprzecinkowym jest dziesiętny ułamek 1/10, który ma nieskończone rozwinięcie dwójkowe - w systemie dwójkowym jest to ułamek okresowy, podobnie jak ułamek 1/3 w systemie dziesiętnym równy 0,33333...  Jeśli teraz wykonamy na dowolnym komputerze dziesięciokrotne sumowanie liczby 0,1, to spodziewamy się, iż dostaniemy wartość 1. Niestety, będzie to wartość bardzo bliska 1, ale nie równa dokładnie 1.

Niektóre programy, np. arkusz kalkulacyjny Microsoft Excel, stosują własne, specjalne metody zapamiętywania wartości zmiennoprzecinkowych, które w znacznym stopniu niwelują występowanie błędów zaokrągleń. W każdym razie jest to dziedzina bardzo skomplikowana i wykracza poza nasze opracowanie.

 

Kod BCD

cyfry dziesiętne
cyfra BCD
0 0000(2)
1 0001(2)
2 0010(2)
3 0011(2)
4 0100(2)
5 0101(2)
6 0110(2)
7 0111(2)
8 1000(2)
9 1001(2)

 

W niektórych zastosowaniach urządzenia komputerowe muszą bezpośrednio operować cyframi dziesiętnymi: np. kasy sklepowe, liczniki, kalkulatory. Aby ułatwić to zadanie, wymyślono specjalny kod zapisu liczby dziesiętnej w systemie dwójkowym. Jest to kod BCD (ang. Binary Coded Decimal - Dziesiętny Kodowany Dwójkowo). W systemie tym nie koduje się wartości binarnej liczby, tylko jej poszczególne cyfry dziesiętne. Każdą cyfrę dziesiętną przedstawia się za pomocą 4 bitów według tabeli kodu BCD.

Zapis liczby dziesiętnej polega więc na zastąpieniu każdej z jej cyfr 4 bitami z tabeli kodowej. Oto odpowiedni przykład:


9234
(10) = 1001 0010 0011 0100 = 1001001000110100(BCD)


Postępując odwrotnie otrzymamy zapis dziesiętny liczby przedstawionej w kodzie BCD:
 

10000110000001110001(BCD) = 1000 0110 0000 0111 0001 = 86071(10)


Zwróć uwagę, iż liczba zapisana w kodzie BCD po zamianie na system szesnastkowy da się bezpośrednio odczytać jako liczba dziesiętna. Jest to bardzo miła cecha liczb BCD, z której często korzystają programiści pracujący z takimi liczbami.


Kod Gray'a

W wielu zastosowaniach konieczny jest kod binarny, w którym kolejne wyrazy kodowe różnią się od siebie wartością tylko jednego bitu. Zwykłe kody binarne nie posiadają tej własności, bo np. wyraz 3(10) = 0011(2) i kolejny 4(10) = 0100(2) różnią się stanem aż 3 bitów. Można zadać pytanie, jakie to ma znaczenie? Czasem bardzo duże. Wyobraźmy sobie, iż w pewnym robocie przemysłowym zainstalowano w ramieniu czujnik położenia, który wysyła do komputera sterującego tym automatem informacje w kodzie dwójkowym (np. 3-bitowym dla uproszczenia). W trakcie transmisji może okazać się, iż nie wszystkie bity zmieniają się równie szybko. Np. przejście ze stanu 011 do stanu 100 może zawierać niepożądane słowa kodowe typu 000 (najstarszy bit jeszcze nie przyjął wartości 1) czy 111 (dwa najmłodsze bity nie zdążyły się jeszcze zmienić na 0). W efekcie położenie ramienia może być odczytane błędnie przez układy sterujące. Jeśli natomiast kolejne wartości położenia będą się różnić tylko jednym bitem, to albo zostanie odczytana nowa wartość, albo stara w zależności, czy bit zdążył się zmienić, czy też nie.

 

Operacja XOR
0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
1 XOR 0 = 1
1 XOR 1 = 0

 

Zanim zaczniemy konstruować kolejne wyrazy w kodzie Gray'a (właściwie w jednym z możliwych kodów, gdyż można zdefiniować bardzo wiele różnych kodów Gray'a), musimy wprowadzić pewną operację nad bitami, która nosi nazwę XOR lub sumy modulo 2.  Obok podajemy tabelkę wartości tej operacji dla wszystkich kombinacji bitów. Operacja XOR nad dwoma bitami daje wartość 0, gdy są one takie same, lub 1, gdy są różne.

Będziemy tworzyć 3-bitowy kod Gray'a. Sposób jest bardzo prosty. Najpierw tworzymy 3-bitowy kod binarny. W tabelce zapisujemy wyraz kodowy, a u dołu ten sam wyraz przesunięty w prawo o 1 bit (czyli o jedną pozycję). Prawy bit przesuniętego wyrazu ignorujemy (w tabelce zaznaczyliśmy go bladym kolorem). Lewy bit przepisujemy bezpośrednio do wyniku (w tabelce zaznaczyliśmy go kolorem zielonym). Nad pozostałymi bitami wykonujemy operację XOR i otrzymujemy w wyniku wyraz kodu Gray'a.

 

Kod binarny XOR Kod Gray'a
000(2) 000
 000
000(Gray)
000(Gray)
001(2) 001
 001
001(Gray)
001(Gray)
010(2) 010
 010
011(Gray)
011(Gray)
011(2) 011
 011
010(Gray)
010(Gray)
100(2) 100
 100
110(Gray)
110(Gray)
101(2) 101
 101
111(Gray)
111(Gray)
110(2) 110
 110
101(Gray)
101(Gray)
111(2) 111
 111
100(Gray)
100(Gray)

 

Taki kod Gray'a nosi nazwę kodu odzwierciedlonego binarnie (binary reflected Gray Code). Otrzymanie wartości binarnej z wyrazu w kodzie Gray'a jest dla tych kodów równie proste. W tym celu kopiujemy najstarszy bit wyrazu w kodzie Gray'a do najstarszego bitu wyrazu binarnego. Resztę bitów binarnych otrzymamy wykonując operację XOR na i-tym bicie kodu Gray'a i (i+1) bicie wyrazu binarnego. Oto przykład.

Najpierw utwórzmy ze słowa binarnego 1101 wyraz w kodzie Gray'a:
 

1101(2)
 1101
1011(Gray)
 

Teraz dokonamy konwersji odwrotnej:
 

1011
    
1
xxx
Przepisujemy do wyniku najstarszy bit.
1011
 1  
11xx
Bit ten zapisujemy pod spodem na pozycji przesuniętej w prawo i obliczamy funkcję XOR z bitem kodu Gray'a
1011
 11  
110x
Otrzymany w wyniku operacji XOR bit umieszczamy pod spodem obok poprzedniego bitu
1011
 110
1101
Operację tę wykonujemy ponownie i otrzymujemy słowo binarne.

 

Konwersja: kod binarny < > kod Gray'a

INSTRUKCJA:

 

W górne pole wpisz wyraz kodu binarnego i kliknij przycisk Kod Gray'a, a w dolnym polu odczytasz odpowiadający mu wyraz w kodzie Gray'a.

W dolne pole wpisz wyraz kodu Gray'a i kliknij przycisk Kod Binarny, a w górnym polu odczytasz odpowiadający mu kod binarny.

Kod binarny:

 

     
 

Kod Gray'a

JavaScript - (C)2002 Jerzy Wałaszek

 

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.