Wstęp


Podrozdziały

 

Definicja miejsca zerowego

Miejscem zerowym (ang. root, solution) funkcji f(x) będziemy nazywali argument xo, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0:
 

xo jest miejscem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy f(xo) = 0

 

Uwaga:

Często uczniowie (nawet ci lepsi) mylą to proste pojęcie i twierdzą, iż miejsce zerowe to argument xo = 0. Prawdopodobnie zamęt wprowadza indeks przy literce x. Zastanów się, jeśli by tak było, to po co potrzebna jest nam ta cała procedura znajdowania czegoś, co jest przecież równe 0...?

 

Przykład:

Funkcja f(x) = 2x - 4 posiada miejsce zerowe dla xo = 2, ponieważ:

 f(xo)  = 2xo - 4
 f(2)  = 2 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Miejsce zerowe często nazywamy pierwiastkiem funkcji.

Funkcja może posiadać więcej niż jeden pierwiastek:

Przykład:

Funkcja f(x) = x2 - 1 posiada dwa pierwiastki: xo = -1 oraz xo = 1, gdyż:

 f(xo)  = (xo)2 - 1
 f(-1)  = (-1)2 - 1 = 1 - 1 = 0
  f(1)  = 12 - 1 = 1 - 1 = 0

Funkcja może posiadać nieskończenie wiele pierwiastków:

Przykład:

Funkcja f(x) = sin(x - 2) posiada pierwiastki dla każdego xo = + 2, gdzie k = 0, ±1, ±2 ...


Graficznie miejsce zerowe funkcji możemy interpretować jako punkt przecięcia osi współrzędnych OX przez wykres funkcji:

 

 

Znajdowanie miejsc zerowych ma olbrzymie znaczenie w matematyce, fizyce, astronomii, technice itp. Dlatego już dawno temu matematycy opracowali wiele metod rozwiązywania tego zagadnienia. Zasadniczo istnieją dwa podejścia:

 

Porównywanie liczb zmiennoprzecinkowych

W obliczeniach komputerowych będziemy wykorzystywali liczby rzeczywiste. Takie liczby są kodowane w specjalnym systemie zwanym binarnym kodem zmiennoprzecinkowym (ang. binary floating point code). Dokładny opis systemów zmiennoprzecinkowych znajdziesz w artykule o binarnym kodowaniu liczb. Cechą charakterystyczną kodów binarnych stosowanych w obliczeniach komputerowych jest ich skończoność. Oznacza to, iż do reprezentacji liczby komputer wykorzystuje stałą liczbę bitów (np. 8, 16, 32, 64 itp.). W wyniku kod binarny może reprezentować ograniczoną ilość liczb. Na przykład kod naturalny 8-bitowy może przedstawić tylko 256 różnych liczb poczynając od 0, a kończąc na 255. Oto proste przykłady:

 

Free Pascal

// Program demonstruje przekroczenie zakresu liczby 8-bitowej
//-----------------------------------------------------------

program test;

begin
  writeln(byte(257)); readln;
end.

 

Code::Blocks

// Program demonstruje przekroczenie zakresu liczby 8-bitowej
//-----------------------------------------------------------

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

int main()
{
  cout << (unsigned)(unsigned char) 257 << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

 

Program powinien wypisać liczbę 257, wypisuje natomiast 1. Dlaczego tak się dzieje? Otóż liczba 257 musi być reprezentowana przez 9 bitów:

100000001(2) = 257(10).

Jednakże kod ten obcinamy do 8 bitów (to właśnie dokonują konwersje zastosowane w programach). W efekcie otrzymujemy:

100000001(2) = 00000001(2) = 1(10).

 

W przypadku liczb zmiennoprzecinkowych istotnym parametrem jest precyzja, czyli dokładność przedstawienia liczby. Określa ona ile początkowych cyfr liczby zostanie zapamiętanych dokładnie. Na przykład kod zmiennoprzecinkowy 32-bitowy zapamiętuje dokładnie tylko 7-8 początkowych cyfr liczby. Pozostałe cyfry są już niewiarygodne. Oto proste przykłady:

 

Free Pascal

// Program demonstruje przekroczenie precyzji liczby zmiennoprzecinkowej
//----------------------------------------------------------------------

program Project2;

var
  a : single;
begin
  a := 10000000123; // Końcówka ...123 nie zostanie zapamiętana!!!
  writeln(a:12:0);
  readln;
end.

 

Code::Blocks

// Program demonstruje przekroczenie precyzji liczby zmiennoprzecinkowej
//----------------------------------------------------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>

using namespace std;

int main()
{

  float a = 10000000123;      // Końcówka ...123 nie zostanie zapamiętana!!!

  cout << setprecision(0)     // 0 cyfr po przecinku
       << fixed;              // format stałoprzecinkowy
  cout << a << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

 

W powyższych przykładach zmienna a zapamiętuje tylko 8 najbardziej znaczących cyfr liczby. Dlatego cyfry końcowe 123 nie zostają poprawnie wyświetlone - liczba jest pamiętana przez komputer jako liczba przybliżona. Oczywiście można przyjąć do zapisu liczb system 64-bitowy (double). Wtedy precyzja wzrośnie do około 15 cyfr najbardziej znaczących, ale problem wciąż będzie występował, tyle że na dalszym miejscu.

 

Komputer zapamiętuje liczby ze skończoną dokładnością. Konsekwencje są olbrzymie! Spójrz na poniższe dwa przykłady:

 

Free Pascal

// Program demonstruje błędy zaokrągleń
//-------------------------------------

program Test;

var
  a : double;
begin
  a := 0.1;
  if a * 10 = 1 then
    writeln('WSZYSTKO OK :)')
  else
    writeln('NIC NIE JEST OK :(');
  readln;
end.

 

Code::Blocks

// Program demonstruje błędy zaokrągleń
//-------------------------------------

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

int main()
{
  double a = 0.1;

  cout << ((a * 10 == 1) ? "WSZYSTKO OK :)" : "NIC NIE JEST OK :(");
  cout << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

 

Program tworzy zmienną a i zapamiętuje w niej wartość 0.1. Następnie sprawdza, czy zawartość zmiennej a pomnożona przez 10 daje 1. Jeśli tak, wypisuje tekst "WSZYSTKO OK :)". Analizując ten program pod kątem matematycznym dochodzimy do wniosku, iż tekst ten powinien się pojawić, ponieważ z arytmetycznego punktu widzenia iloczyn 0.1 przez 10 daje w wyniku właśnie 1. Prawda? Otóż nie.

Komputer pracuje wewnętrznie w systemie dwójkowym. Ułamek dziesiętny 0.1 posiada w systemie dwójkowym następujące rozwinięcie (sposób konwersji liczby dziesiętnej na dwójkową znajdziesz w artykule o binarnym kodowaniu liczb):

 

0.1(10) = 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001100...(2)

 

Jest to zatem ułamek okresowy nieskończony (podobną własność posiada ułamek 1/3 w systemie dziesiętnym). Ponieważ zapis zmiennoprzecinkowy ograniczony jest wewnętrznie do skończonej liczby bitów (cyfr rozwinięcia dwójkowego), komputer zapamięta ułamek 0.1 z przybliżeniem, zatem niedokładnie. Oczywiście błąd zaokrąglenia jest bardzo mały, ale jest!

Teraz taką przybliżoną wartość mnożymy przez 10. Czy otrzymamy 1? Nie, otrzymamy liczbę bardzo bliską 1, lecz różną od 1. Dla komputera jest to już zupełnie inna liczba, zatem porównanie daje wynik negatywny i w efekcie komputer wyświetli ten drugi napis "NIC NIE JEST OK :(".

Zwróć uwagę, iż nawet w tak prostych sytuacjach mogą pojawić się problemy. Jest to swego rodzaju pułapka na niedouczonych programistów i jakże często w nią wpadają!

 

Zapamiętaj:

Wartości zmiennoprzecinkowych (szczególnie uzyskanych w wyniku obliczeń) nie wolno ze sobą bezpośrednio porównywać za pomocą operatora równości.

 

Co zatem mamy zrobić? Otóż zamiast przyrównywać wartość zmiennoprzecinkową do innej wartości będziemy sprawdzać, czy obie są sobie dostatecznie bliskie. Innymi słowy należy sprawdzić, czy jedna wartość zmiennoprzecinkowa wpada w dostatecznie małe otoczenie drugiej. W tym celu wystarczy przetestować wartość bezwzględną ich różnicy (interpretowaną jako odległość pomiędzy nimi):

 

Wartość a jest równa wartości b z dokładnością do ε wtedy i tylko wtedy, gdy:

| a - b | < ε

 

Zapamiętaj to proste rozwiązanie, gdyż znakomicie ułatwi ci ono poruszanie się w gąszczu wyników zmiennoprzecinkowych. Podane poprzednio programy należy zmodyfikować następująco:

 

Free Pascal

program Test;

var
  a : double;
begin
  a := 0.1;
  if abs(a * 10 - 1) < 0.00000001 then
    writeln('WSZYSTKO OK :)')
  else
    writeln('NIC NIE JEST OK :(');
  readln;
end.

 

Code::Blocks

#include <iostream>
#include 

using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
  double a = 0.1;

  cout << (fabs(a * 10 - 1) < 0.00000001 ? "WSZYSTKO OK :)" : "NIC NIE JEST OK :(");
  cout << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

 

Uwagi na temat języków programowania

Prezentowane w artykule algorytmy wzbogaciliśmy o proste przykłady programów w poniższych środowiskach programowania:

 

Free Pascal

Code::Blocks (C++)

FreeBasic

JavaScript

 

Wszystkie są darmowo dostępne poprzez sieć Internet. Ostatni język, JavaScript, jest dostępny w większości przegladarek internetowych - Internet Explorer, FireFox, Google Chrome, Safari.

 

Uwaga:

          Przykładowe programy nie są celem artykułu - stanowią jedynie proste przykłady implementacji omawainych w artykule algorytmów.

 

 

Zapraszamy.

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.