Reprezentacja grafów w komputerze


Tematy pokrewne   Podrozdziały
Grafy
Podstawowe pojęcia dotyczące grafów
Reprezentacja grafów w komputerze
Przechodzenie grafów w głąb – DFS
Przechodzenie grafów wszerz – BFS
Transpozycja grafu
Kwadrat grafu
Graf krawędziowy
Stopień grafu
Znajdowanie ścieżki w grafie
Znajdowanie drogi w labiryncie
Spójność grafu
Znajdowanie spójnych składowych w grafie
Znajdowanie silnie spójnych składowych w grafie
Drzewa rozpinające grafu
Znajdowanie mostów w grafie
Znajdowanie punktów artykulacji w grafie
Grafy dwudzielne
Kojarzenie małżeństw
Cykliczność grafu
Znajdowanie cykli w grafie
Istnienie cyklu lub ścieżki Eulera
Znajdowanie cyklu lub ścieżki Eulera
Znajdowanie cyklu lub ścieżki Hamiltona
Sortowanie topologiczne grafu skierowanego
Najkrótsza ścieżka w grafie ważonym – algorytm Dijkstry
Najkrótsza ścieżka w grafie ważonym – algorytm Bellmana-Forda
Najkrótsze ścieżki pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków w grafie ważonym
Problem chińskiego listonosza
Problem komiwojażera
Minimalne drzewo rozpinające
Kolorowanie grafu
Znajdowanie klik w grafie
 

Wprowadzanie grafu do pamięci komputera
Macierz sąsiedztwa
Macierz incydencji
Listy sąsiedztwa

 

Do reprezentacji grafów w pamięci komputera wymyślono kilka różnych struktur danych. Każda z nich posiada swoje zalety, lecz również wady. Dlatego należy je rozsądnie dobierać do zadań, w których używamy grafów. Źle dobrana reprezentacja może znacząco wydłużyć czas obliczeń lub rozmiar zajmowanej pamięci. Graf zwykle nie jest strukturą hierarchiczną, jak np. opisane wcześniej drzewa. Jego węzły nie muszą się ze sobą łączyć w określony sposób. Mogą również istnieć grupy węzłów, które nie są w żaden sposób połączone z innymi. Dlatego sposoby reprezentacji drzew niezbyt nadają się do reprezentacji grafów, która powinna zapewniać dostęp do wszystkich wierzchołków bez względu na ich wzajemne połączenia krawędziami. Takie cechy posiadają tablice i macierze. W rozdziale tym omawiamy trzy najczęściej spotykane sposoby przedstawiania grafów: macierz sąsiedztwa (ang. adjacency matrix), macierz incydencji (ang. incidence matrix) oraz listy sąsiedztwa (ang. adjacency lists). Cechą charakterystyczną tych implementacji jest wykorzystanie tablic do przechowywania danych na temat wierzchołków lub łączących je krawędzi. Wykorzystuje się również struktury mieszane, np. tablicę, której elementami są listy.

 

Wprowadzanie grafu do pamięci komputera

Chcąc realizować algorytmy grafowe, będziemy zmuszeni wprowadzać różne grafy do pamięci komputera. Istnieje bardzo prosty sposób realizacji tego zadania i jest on następujący:
 

Na początku podajemy dwie liczby n – ilość wierzchołków oraz m – ilość krawędzi. Następnie wprowadzamy m par liczb a i b, które definiują kolejne krawędzie grafu, gdzie a to wierzchołek startowy, a b wierzchołek końcowy (dla grafu nieskierowanego kolejność tych wierzchołków nie ma znaczenia). Umówmy się dodatkowo, że wierzchołki w grafie posiadają numery od 0 do n-1. Kolejność numeracji wierzchołków nie ma znaczenia. Dla porządku krawędzie również będą numerowane od 0 do m-1. Dzięki tej umowie uprości się tworzenie struktur danych w języku C++, gdzie, jak pamiętamy, indeksy tablic rozpoczynają się od 0.

Przykład:

5 6 
0 1 
1 2 
2 3 
3 0 
1 4 
3 4 
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi 
 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5

 

Jeśli krawędzie będą posiadały wagi, to warości tych wag podamy jako trzecią liczbę w definicji krawędzi.

Przykład:

5 6 
0 1 5 
1 2 -3 
2 3 0 
3 0 -1 
1 4 2 
3 4 4 
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi 
 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5

 

Jeśli z wierzchołkami grafu zechcemy skojarzyć dane, to po podaniu dwóch pierwszych liczb n i m najpierw przekazujemy do programu n danych dla wierzchołków, a następnie m par (lub trójek) dla poszczególnych krawędzi.

Przykład:

5 6 
5 
3 
1 
6 
8 

0 1 
1 2 
2 3 
3 0 
1 4 
3 4 
 – 5 wierzchołków i 6 krawędzi 
 – dane dla v0
 – dane dla v1
 – dane dla v2
 – dane dla v3
 – dane dla v4

 – krawędź e0
 – krawędź e1
 – krawędź e2
 – krawędź e3
 – krawędź e4
 – krawędź e5

 

Macierz sąsiedztwa

Graf reprezentujemy za pomocą macierzy kwadratowej A o stopniu n, gdzie n oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Macierz tą nazywamy macierzą sąsiedztwa (ang. adjacency matrix). Odwzorowuje ona połączenia wierzchołków krawędziami. Wiersze macierzy sąsiedztwa odwzorowują zawsze wierzchołki startowe krawędzi, a kolumny odwzorowują wierzchołki końcowe krawędzi. Komórka A[i,j], która znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie odwzorowuje krawędź łączącą wierzchołek startowy vi z wierzchołkiem końcowym vj. Jeśli A[i,j] ma wartość 1, to dana krawędź istnieje. Jeśli A[i,j] ma wartość 0, to wierzchołek vi nie łączy się krawędzią z wierzchołkiem vj.

 

        

 

Przykład:

 
  0 1 2 3 4
0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
2 0 0 0 1 0
3 1 0 0 0 1
4 0 1 0 0 0

 

Dla grafu nieskierowanego macierz sąsiedztwa A jest symetryczna względem głównej przekątnej, ponieważ jeśli istnieje krawędź od vi do vj (A[i,j] = 1), to również musi istnieć krawędź w kierunku odwrotnym, od vj do vi (A[j,i] = 1).

Przykład:

 
  0 1 2 3 4
0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1
2 0 1 0 1 0
3 1 0 1 0 1
4 0 1 0 1 0

 

Interpretacja zawartości macierzy sąsiedztwa jest bardzo prosta. Poszczególne wiersze traktujemy jako wierzchołki grafu. Zatem wiersz 0 odpowiada wierzchołkowi v0, wiersz 1 odpowiada wierzchołkowi v1, itd. Weźmy dla przykładu wiersz nr 3, który odpowiada wierzchołkowi v3:

 

  0 1 2 3 4
3 1 0 1 0 1

 

W kolumnach o numerach 0, 2 i 4 mamy wartości 1. Oznacza to, że wierzchołek v3 jest połączony krawędziami kolejno z wierzchołkami v0, v2 i v4. Wierzchołek v3 jest początkiem tych krawędzi, a wierzchołki  v0, v2 i v4 są ich końcami. Z wierzchołka v3 nie wychodzą żadne krawędzie do wierzchołków v1 i v3. Porównaj to z rysunkiem grafu umieszczonym powyżej.

Podobnie jest dla kolumn. Weźmy na przykład kolumnę nr 1, która odpowiada wierzchołkowi v1:

 

  1
0 1
1 0
2 1
3 0
4 1

 

W kolumnie mamy wartość 1 w wierszach o numerach 0, 2 i 4. Znaczy to, że wierzchołek v1 jest końcem krawędzi wychodzących z wierzchołków v0, v2 i v4. Do wierzchołka v1 nie dochodzą krawędzie z wierzchołków v1 i v3.

 

Aby sprawdzić, czy w grafie dane dwa wierzchołki vi i vj są połączone krawędzią, sprawdzamy, czy komórka A[i,j] zawiera wartość 1. Jeśli tak, to dana krawędź istnieje. Zwróć uwagę, że operację tę można wykonać w czasie stałym, zatem dla macierzy sąsiedztwa sprawdzenie połączenia wierzchołków krawędzią ma klasę złożoności obliczeniowej równą O(1). Wadą jest klasa zajętość pamięci równa O(n2), gdzie n oznacza liczbę wierzchołków w grafie. Z drugiej strony komórki macierzy mogą być pojedynczymi bitami.

 

Z macierzy sąsiedztwa można odczytać wiele pożytecznych informacje. Oto niektóre z nich:

Program

Ważne:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

 

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy macierz sąsiedztwa i wypisuje ją w czytelnej formie.

 

Przykładowe dane wejściowe:
           6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

 

Lazarus
// Macierz sąsiedztwa
// Data: 14.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program adj_matrix;

// Typy dla dynamicznej macierzy
type
  nptr = array of byte;  // Wiersz
  mptr = array of nptr;  // Cała macierz

var
  n,m,i,j,v1,v2 : integer;
  A : mptr;

begin
  read(n,m);             // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength(A,n);        // Tworzymy tablicę wskaźników

  for i := 0 to n - 1 do
    SetLength(A[i],n);   // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for i := 0 to n - 1 do
    for j := 0 to n - 1 do
      A[i][j] := 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 1 to m do
  begin
    read(v1,v2);        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A[v1][v2] := 1;     // Krawędź v1->v2 obecna
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

  write('   ');
  for i := 0 to n - 1 do write(i:3);
  writeln;
  writeln;
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write(i:3);
    for j := 0 to n - 1 do write(A[i][j]:3);
    writeln;
  end;

  // Usuwamy macierz

  for i := 0 to n - 1 do SetLength(A[i],0);
  SetLength(A,0);

  writeln;
end.
Code::Blocks
// Macierz sąsiedztwa
// Data: 14.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main()
{
  int n,m,i,j,v1,v2;
  char ** A;

  cin >> n >> m;         // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new char * [n];    // Tworzymy tablicę wskaźników

  for(i = 0; i < n; i++)
    A[i] = new char [n]; // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for(i = 0; i < n; i++)
    for(j = 0; j < n; j++) A[i][j] = 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for(i = 0; i < m; i++)
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A[v1][v2] = 1;      // Krawędź v1->v2 obecna
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

  cout << "   ";
  for(i = 0; i < n; i++) cout << setw(3) << i;
  cout << endl << endl;
  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << setw(3) << i;
    for(j = 0; j < n; j++) cout << setw(3) << (int) A[i][j];
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy macierz

  for(i = 0; i < n; i++) delete [] A[i];
  delete [] A;

  cout << endl;

  return 0;
}
Free Basic
' Macierz sąsiedztwa
' Data: 14.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

Dim As Integer n,m,i,j,v1,v2
Dim As Byte Ptr Ptr A

Open Cons For Input As #1

Input #1,n,m             ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = New Byte Ptr [n]     ' Tworzymy tablicę wskaźników

For i = 0 To n - 1
  A[i] = New Byte [n]    ' Tworzymy wiersze
Next

' Macierz wypełniamy zerami

For i = 0 To n - 1
  For j = 0 To n - 1
  	 A[i][j] = 0
  Next
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m - 1
  Input #1,v1,v2        ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  A[v1][v2] = 1         ' Krawędź v1->v2 obecna
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość macierzy sąsiedztwa

Print "   ";
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
Next
Print: Print
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
  For j = 0 To n - 1
  	 Print Using "###";A[i][j];
  Next
  Print
Next

' Usuwamy macierz

For i = 0 To n - 1
  Delete [] A[i]
Next
Delete [] A

Print

End
Wynik
6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

     0  1  2  3  4  5

  0  0  1  0  0  0  0
  1  0  0  1  1  0  0
  2  0  0  1  0  1  0
  3  0  1  0  0  0  0
  4  1  0  0  1  0  0
  5  0  0  0  0  0  0

 

Zadania dla macierzy sąsiedztwa

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf nieskierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkich jego sąsiadów.
  3. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  4. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
  5. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
  6. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.

 

Macierz incydencji

Macierz incydencji (ang. incidence matrix) jest macierzą A o wymiarze n x m, gdzie n oznacza liczbę wierzchołków grafu, a m liczbę jego krawędzi. Każdy wiersz tej macierzy odwzorowuje jeden wierzchołek grafu. Każda kolumna odwzorowuje jedną krawędź. Zawartość komórki A[i,j] określa powiązanie (incydencję) wierzchołka vi z krawędzią ej w sposób następujący:

 

Przykład:

 
  0 1 2 3 4 5
0 1 0 0 -1 0 0
1 -1 1 0 0 -1 0
2 0 -1 1 0 0 0
3 0 0 -1 1 0 1
4 0 0 0 0 1 -1

 

 

Jeśli graf jest nieskierowany, to definicję macierzy można uprościć:

 

Przykład:

 
  0 1 2 3 4 5
0 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0 0
3 0 0 1 1 0 1
4 0 0 0 0 1 1

 

Interpretacja macierzy incydencji jest równie prosta jak interpretacja macierzy sąsiedztwa. Weźmy dla przykładu wiersz nr 3:

 

  0 1 2 3 4 5
3 0 0 -1 1 0 1

 

Wiersz nr 3 skojarzony jest z wierzchołkiem v3 grafu. Wierzchołek v3 jest końcem krawędzi e2 oraz początkiem krawędzi e3 i e5. Nie należy do krawędzi e0, e1 i e4.

Z kolei każda kolumna odwzorowuje jedną krawędź. Weźmy kolumnę nr 2:

 

  2
0 0
1 0
2 1
3 -1
4 0

 

Kolumna nr 2 skojarzona jest z krawędzią e2 grafu. Krawędź ta wychodzi od wierzchołka v2 i kończy się w wierzchołku v3.

 

Macierz incydencji wymaga pamięci o rozmiarze O(m x n). Przydaje się wtedy, gdy algorytm musi posiadać informację o krawędziach (bo przykładowo posiadają one wagi). Pozwala w czasie O(1) sprawdzić, czy wierzchołek vi należy do krawędzi ej. Zwróć uwagę, że macierz incydencji nie nadaje się zbyt dobrze do reprezentacji grafów z pętlami, ponieważ wierzchołek startowy i końcowy muszą być różne. Co prawda, można się umówić na specjalną wartość, np. 2, dla wierzchołka, który jest jednocześnie początkiem jak i końcem krawędzie, lecz komplikuje to przetwarzanie macierzy. Z kolei macierz incydencji bez problemu pozwala reprezentować krawędzie wielokrotne.

Z macierzy incydencji możemy odczytać te same informacje, co z macierzy sąsiedztwa (chociaż czasami wymaga to więcej działań).

Program

Ważne:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

 

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy macierz incydencji i wypisuje ją w czytelnej formie.

 

Przykładowe dane wejściowe:
           6 7
0 1
1 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

 

Lazarus
// Macierz incydencji
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program inc_matrix;

// Typy dla dynamicznej macierzy
type
  nptr = array of shortint; // Wiersz
  mptr = array of nptr;     // Cała macierz

var
  n,m,i,j,v1,v2 : integer;
  A : mptr;

begin
  read(n,m);             // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength(A,n);        // Tworzymy tablicę wskaźników

  for i := 0 to n - 1 do
    SetLength(A[i],m);   // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for i := 0 to n - 1 do
    for j := 0 to m - 1 do
      A[i][j] := 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 0 to m - 1 do
  begin
    read(v1,v2);        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A[v1][i] := 1;      // Wierzchołek startowy
    A[v2][i] := -1;     // Wierzchołek końcowy
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

  write('   ');
  for i := 0 to m - 1 do write(i:3);
  writeln;
  writeln;
  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write(i:3);
    for j := 0 to m - 1 do write(A[i][j]:3);
    writeln;
  end;

  // Usuwamy macierz

  for i := 0 to n - 1 do SetLength(A[i],0);
  SetLength(A,0);

  writeln;

end.
Code::Blocks
// Macierz incydencji
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main()
{
  int n,m,i,j,v1,v2;
  signed char ** A;

  cin >> n >> m;         // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new signed char * [n];    // Tworzymy tablicę wskaźników

  for(i = 0; i < n; i++)
    A[i] = new signed char [m]; // Tworzymy wiersze

  // Macierz wypełniamy zerami

  for(i = 0; i < n; i++)
    for(j = 0; j < m; j++) A[i][j] = 0;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for(i = 0; i < m; i++)
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    A[v1][i] = 1;       // Wierzchołek startowy
    A[v2][i] = -1;      // Wierzchołek końcowy
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

  cout << "   ";
  for(i = 0; i < m; i++) cout << setw(3) << i;
  cout << endl << endl;
  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << setw(3) << i;
    for(j = 0; j < m; j++) cout << setw(3) << (int) A[i][j];
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy macierz

  for(i = 0; i < n; i++) delete [] A[i];
  delete [] A;

  cout << endl;

  return 0;
}
Free Basic
' Macierz incydencji
' Data: 18.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

Dim As Integer n,m,i,j,v1,v2
Dim As Byte Ptr Ptr A

Open Cons For Input As #1

Input #1,n,m             ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = New Byte Ptr [n]     ' Tworzymy tablicę wskaźników

For i = 0 To n - 1
  A[i] = New Byte [m]    ' Tworzymy wiersze
Next

' Macierz wypełniamy zerami

For i = 0 To n - 1
  For j = 0 To m - 1
    A[i][j] = 0
  Next
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m - 1
  Input #1,v1,v2        ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  A[v1][i] = 1          ' Wierzchołek startowy
  A[v2][i] =-1          ' Wierzchołek końcowy
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość macierzy incydencji

Print "   ";
For i = 0 To m - 1
  Print Using "###";i;
Next
Print: Print
For i = 0 To n - 1
  Print Using "###";i;
  For j = 0 To m - 1
    Print Using "###";A[i][j];
  Next
  Print
Next

' Usuwamy macierz

For i = 0 To n - 1
  Delete [] A[i]
Next
Delete [] A

Print

End
Wynik
6 7
0 1
1 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

     0  1  2  3  4  5  6

  0  1  0  0  0  0 -1  0
  1 -1  1  1 -1  0  0  0
  2  0 -1  0  0  1  0  0
  3  0  0 -1  1  0  0 -1
  4  0  0  0  0 -1  1  1
  5  0  0  0  0  0  0  0

 

Zadania dla macierzy incydencji

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf nieskierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkich jego sąsiadów.
  3. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.

 

Listy sąsiedztwa

Do reprezentacji grafu wykorzystujemy tablicę n elementową A, gdzie n oznacza liczbę wierzchołków. Każdy element tej tablicy jest listą. Lista reprezentuje wierzchołek startowy. Na liście są przechowywane numery wierzchołków końcowych, czyli sąsiadów wierzchołka startowego, z którymi jest on połączony krawędzią. Tablica ta nosi nazwę list sąsiedztwa (ang. adjacency lists).

Przykład:

 
0 1  
1 2  
2 3  
3 0 4
4 1  

 

W przypadku grafu nieskierowanego listy są dłuższe, ponieważ muszą odzwierciedlać krawędzie biegnące w obu kierunkach.

Przykład:

 
0 1 3  
1 0 4 2
2 1 3  
3 0 2 4
4 1 3  

 

Listy sąsiedztwa są efektywnym pamięciowo sposobem reprezentacji grafu w pamięci komputera, ponieważ zajmują pamięć rzędu O(m), gdzie m oznacza liczbę krawędzi grafu. Listy sąsiedztwa pozwalają w prosty sposób reprezentować pętle oraz krawędzie wielokrotne, co sprawia, że są bardzo chętnie stosowane w algorytmach grafowych.

Oto kilka podstawowych operacji na listach sąsiedztwa:

Program

Ważne:

Zanim uruchomisz program, przeczytaj wstęp do tego artykułu, w którym wyjaśniamy funkcje tych programów oraz sposób korzystania z nich.

 

Program odczytuje definicję grafu skierowanego, tworzy tablicę list sąsiedztwa i wypisuje ją w czytelnej formie. W tablicy są wykorzystywane listy jednokierunkowe.

 

Przykładowe dane wejściowe:
           6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

 

Lazarus
// Listy sąsiedztwa
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

program inc_matrix;

// Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

type
  PslistEl = ^slistEl;
  slistEl =  record
    next  : PslistEl;
    v     : integer;
  end;

  TList = array of PslistEl;

var
  n,m,i,v1,v2 : integer;
  A : TList;
  p,r : PslistEl;
begin
  read(n,m);             // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  SetLength(A,n);        // Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

  // Tablicę wypełniamy pustymi listami

  for i := 0 to n - 1 do A[i] := nil;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for i := 0 to m - 1 do
  begin
    read(v1,v2);        // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    new(p);             // Tworzymy nowy element
    p^.v := v2;         // Numerujemy go jako v2
    p^.next := A[v1];   // Dodajemy go na początek listy A[v1]
    A[v1] := p;
  end;

  writeln;

  // Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    write('A[',i,'] =');
    p := A[i];
    while p <> nil do
    begin
      write(p^.v:3);
      p := p^.next;
    end;
    writeln;
  end;

  // Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

  for i := 0 to n - 1 do
  begin
    p := A[i];
    while p <> nil do
    begin
      r := p;
      p := p^.next;
      dispose(r);
    end;
  end;
  SetLength(A,0);

  writeln;

end.
Code::Blocks
// Listy sąsiedztwa
// Data: 18.07.2013
// (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
//---------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

// Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

struct slistEl
{
  slistEl * next;
  int v;
};

int main()
{
  int n,m,i,v1,v2;
  slistEl ** A;
  slistEl *p,*r;

  cin >> n >> m;         // Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

  A = new slistEl * [n]; // Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

  // Tablicę wypełniamy pustymi listami

  for(i = 0; i < n; i++) A[i] = NULL;

  // Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

  for(i = 0; i < m; i++)
  {
    cin >> v1 >> v2;    // Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
    p = new slistEl;    // Tworzymy nowy element
    p->v = v2;          // Numerujemy go jako v2
    p->next = A[v1];    // Dodajemy go na początek listy A[v1]
    A[v1] = p;
  }

  cout << endl;

  // Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << "A[" << i << "] =";
    p = A[i];
    while(p)
    {
      cout << setw(3) << p->v;
      p = p->next;
    }
    cout << endl;
  }

  // Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    p = A[i];
    while(p)
    {
      r = p;
      p = p->next;
      delete r;
    }
  }
  delete [] A;

  cout << endl;

  return 0;
}
Free Basic
' Listy sąsiedztwa
' Data: 18.07.2013
' (C)2013 mgr Jerzy Wałaszek
'---------------------------

' Typy dla dynamicznej tablicy list sąsiedztwa

Type slistEl
  next As slistEl Ptr
  v As Integer
End Type

Dim As Integer n,m,i,v1,v2
Dim As slistEl Ptr Ptr A
Dim As slistEl Ptr p,r

Open Cons For Input As #1

Input #1,n,m            ' Czytamy liczbę wierzchołków i krawędzi

A = new slistEl Ptr [n] ' Tworzymy tablicę list sąsiedztwa

' Tablicę wypełniamy pustymi listami

For i = 0 To n - 1
  A[i] = 0
Next

' Odczytujemy kolejne definicje krawędzi

For i = 0 To m -1
  Input #1,v1,v2       ' Wierzchołek startowy i końcowy krawędzi
  p = new slistEl      ' Tworzymy nowy element
  p->v = v2            ' Numerujemy go jako v2
  p->next = A[v1]      ' Dodajemy go na początek listy A[v1]
  A[v1] = p
Next

Close #1

Print

' Wypisujemy zawartość tablicy list sąsiedztwa

For i = 0 To n - 1
  Print Using "A[&] =";i;
  p = A[i]
  While p
    Print Using "###";p->v;
    p = p->Next
  Wend
  Print
Next

' Usuwamy tablicę list sąsiedztwa

For i = 0 To n - 1
  p = A[i]
  While p
    r = p
    p = p->Next
    Delete r
  Wend
Next

Delete [] A

Print

End
Wynik
6 8
0 1
1 2
2 2
1 3
3 1
2 4
4 0
4 3

A[0] =  1
A[1] =  3  2
A[2] =  4  2
A[3] =  1
A[4] =  3  0
A[5] =

 

Zadania dla list sąsiedztwa

  1. Jak zmienić powyższy program, aby traktował dane wejściowe jako graf nieskierowany?
  2. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy dla każdego wierzchołka wszystkie wierzchołki, dla których jest on sąsiadem..
  3. Napisz program, który dla danego grafu nieskierowanego wyznaczy stopnie wszystkich wierzchołków. Uważaj na pętle!
  4. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy stopnie wychodzące i wchodzące wszystkich wierzchołków.
  5. Napisz program, który dla danego grafu skierowanego wyznaczy wszystkie pętle, krawędzie dwukierunkowe oraz wierzchołki izolowane.

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.