Ewoluta (rozwinięta krzywej)

Na ewolutę możemy popatrzeć w dwojaki sposób:

  1. Krzywa płaska, miejsce geometryczne środków krzywizn danej krzywej.
  2. Ewolwenta jest obwiednią normalnych do danej krzywej [2].

Wystarczy tylko dopisać (p. STYCZNA):

    ...
160 k = -1/k
    ...


Stosując instrukcję podstawiania nie musimy wprowadzać nowej zmiennej, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy normalnej.

 

Rys. 5.1
obrazek

Ewolutą okręgu jest jego środek.

 

Rys. 5.2
obrazek

Ewolutą hiperboli jest parabola Neile’a.

Rys. 5.3
obrazek

Ewolutą paraboli jest parabola semikubiczna [1].

Rys. 5.4
obrazek

Ewoluta elipsy przypomina astroidę i może być z niej otrzymana przez rozciągniecie wzdłuż osi y (powinowactwo prostokątne, p. także: krzywa Lamé w [2]).

 

Rys. 5.5
obrazek

Deltoid (z rodziny hipocykloid, stosunek R/r = 3); ewoluta jest również hipocykloidą, ale o trzykrotnie większych rozmiarach i o osiach obróconych o kąt 45° względem starych osi (osi krzywej wyjściowej) [1].

 

Rys. 5.6
obrazek

Podobnie asteroida (R/r = 4), rozmiary dwukrotnie mniejsze – p. też uwaga obok.

Rys. 5.7
obrazek

Kardioida (z rodziny epicykloid, stosunek promieni R/r = 1, ale także listek Pascala, p. [1]). Ewolutą jest kardioidą o trzykrotnie mniejszych rozmiarach.

 

Analizując ewoluty krzywych z rodziny cykloid bez żadnych rachunków można dostrzec następującą prawidłowość: rozmiary ewolut dowolnej hipocykloidy lub epicykloidy są pewnymi krotnościami krzywych wyjściowych.

 

Pytanie do użytkownika: Czy to nie ma coś wspólnego z jednokładnością?

 

 


   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2018 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe