|
©2008 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie |
Inwersja względem okręgu K o
środku O – przekształcenie geometryczne (inwolucja),
które każdemu punktowi M leżącemu na półprostej
wychodzącej z punktu
O (różnemu od O)
przyporządkowuje taki punkt N na tej półprostej, że
Rys. I |
Przy inwersji prosta przechodząca przez środek okręgu inwersji przechodzi w tę samą prostą (Rys. 2.1), a prosta nie przechodząca przez środek inwersji - w okrąg (Rys. 2.2 i 2.3). Natomiast obrazem dowolnego okręgu jest inny okrąg (Rys. 2.4, 2.5, 2.6). Inwersja należy do przekształceń geometrycznych zwanych inwolucją, przy którym punkt N jest obrazem punktu M, jeżeli punkt M jest obrazem punktu N. Przy dwukrotnym zastosowaniu inwolucji otrzymujemy przekształcenie tożsamościowe. Inne przykłady inwolucji to symetrie (osiowa, środkowa) [2]. |
REM INWERSJA WZGLĘDEM OKREGU DEF FNx (t): DEF FNy (t) REM OKRĘG INWERSJI r = 100 FOR t = -π TO π krok PSET (r*SIN(t),r*COS(t)),kolor NEXT t 10 FOR t = a TO b krok PSET (FNx(t), FNy(t)), kolor NEXT t 100 FOR t = a TO b krok x = FNx(t): y = FNy(t) MO = SQR(x^2+y^2) NO = r^2/MO PSET (NO*x/MO,NO*y/MO),kolor NEXT t |
KOMENTARZ ALGORYTMU Wszystkie występujące w programie pętle oczywiście mogą być zapisane jako jedna; uzyskujemy wówczas oszczędności czasowe, czyli jak mawiają informatycy, algorytm (program) jest bardziej sprawny. W niniejszej pracy nie jest to jednak istotne. Proponowany zapis ma natomiast pewne walory dydaktyczne. Po każdej pętli program może być zatrzymany (SLEEP, PAUSE, STOP) i użytkownik może prześledzić jego działanie krok po kroku. Takie ujecie będzie stosowane również w programach poniżej. W tym programie środek okręgu inwersji zajmuje stałe położenie i znajduje się w początku układu współrzędnych O(0,0). Jeżeli umieścimy go w dowolnym punkcie (xo,yo), kładziemy w pętli 10: PSET (r*SIN(t)+x0),r*COS(t)+y0),kolor |
Rys. 2.1 Rys.
2.3 Rys. 2.5 |
Rys. 2.2 Rys.
2.4 Rys. 2.6 |
Pytanie do użytkownika: Jak będzie wyglądał obraz okręgu stycznego wewnętrznie lub zewnętrznie do okręgu inwersji?
Rys. 2.7 Hiperbola równoosiowa: x2 - y2 = a2. |
Rys. 2.8 Hiperbola jest krzywą inwersji dla lemniskaty. |
Krzywa inwersji dla hiperboli jest lemniskatą, a dla lemniskaty – hiperbolą, gdy środek inwersji znajduje się w początku układu współrzędnych.
Rys. 2.9 Cisoida Dioklesa, centrum inwersji – Parabola typu y = ax2 , a > 0 |
Rys. 2.10 Kardioida, gdy centrum inwersji znajduje się Parabola typu: y = ax2 + c, a > 0, c < 0.
|
Rys. 2.11 Okręgiem inwersji jest okrąg opisany |
Rys. 2.12 Okrąg inwersji wpisany w astroidę. |
W obydwu przypadkach uzyskujemy krzywe podobne do rozet czterolistnych. Czy istnieje przekształcenie przeprowadzające jedną w drugą?
Rys. II |
Sposób konstrukcji punktów inwersji ma związek ze styczną do krzywej; punkty położone na okręgu są punktami stałymi przekształcenia, punkty M i N nazywa się też punktami symetrycznymi względem okręgu. |
Linie stowarzyszone z krzywymi, o których będziemy mówić w następnym rozdziale mają związek ze styczną do linii.
I Liceum Ogólnokształcące |
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,
zablokuj je w swojej przeglądarce.
Informacje dodatkowe