Krzywa inwersji

Inwersja względem okręgu K o środku O – przekształcenie geometryczne (inwolucja), które każdemu punktowi M leżącemu na półprostej wychodzącej z punktu O (różnemu od O) przyporządkowuje taki punkt N na tej półprostej, że OM  ON = r2, gdzie r jest promieniem okręgu. Mówimy, ze punkty M i N są symetryczne względem okręgu, zaś środek okręgu K jest środkiem inwersji. Inwersja przekształca punkty wewnętrzne okręgu K na punkty zewnętrzne i na odwrót.

Rys. I
obrazek

Przy inwersji prosta przechodząca przez środek okręgu inwersji przechodzi w tę samą prostą (Rys. 2.1), a prosta nie przechodząca przez środek inwersji - w okrąg (Rys. 2.2 i 2.3). Natomiast obrazem dowolnego okręgu jest inny okrąg (Rys. 2.4, 2.5, 2.6).

Inwersja należy do przekształceń geometrycznych zwanych inwolucją, przy którym punkt N jest obrazem punktu M, jeżeli punkt M jest obrazem punktu N. Przy dwukrotnym zastosowaniu inwolucji otrzymujemy przekształcenie tożsamościowe. Inne przykłady inwolucji to symetrie (osiowa, środkowa) [2].

 

    REM INWERSJA WZGLĘDEM OKREGU

    DEF FNx (t): DEF FNy (t)

    REM OKRĘG INWERSJI

    r = 100

    FOR t =  TO π krok
      PSET (r*SIN(t),r*COS(t)),kolor
    NEXT t

10  FOR t = a TO b krok
      PSET (FNx(t), FNy(t)), kolor
    NEXT t

100 FOR t = a TO b krok
      x = FNx(t): y = FNy(t)
      MO = SQR(x^2+y^2)
      NO = r^2/MO
      PSET (NO*x/MO,NO*y/MO),kolor
    NEXT t
KOMENTARZ ALGORYTMU

Wszystkie występujące w programie pętle oczywiście mogą być zapisane jako jedna; uzyskujemy wówczas oszczędności czasowe, czyli jak mawiają informatycy, algorytm (program) jest bardziej sprawny. W niniejszej pracy nie jest to jednak istotne. Proponowany zapis ma natomiast pewne walory dydaktyczne. Po każdej pętli program może być zatrzymany (SLEEP, PAUSE, STOP) i użytkownik może prześledzić jego działanie krok po kroku.

Takie ujecie będzie stosowane również w programach poniżej.

W tym programie środek okręgu inwersji zajmuje stałe położenie i znajduje się w początku układu współrzędnych O(0,0). Jeżeli umieścimy go w dowolnym punkcie (xo,yo), kładziemy w pętli 10:

PSET (r*SIN(t)+x0),r*COS(t)+y0),kolor

 

Rys. 2.1
obrazek

Rys. 2.3
obrazek

Rys. 2.5
obrazek

Rys. 2.2
obrazek

Rys. 2.4
obrazek

Rys. 2.6
obrazek

Pytanie do użytkownika: Jak będzie wyglądał obraz okręgu stycznego wewnętrznie lub zewnętrznie do okręgu inwersji?

Rys. 2.7
obrazek

Hiperbola równoosiowa: x2 - y2 = a2.

Rys. 2.8
obrazek

Hiperbola jest krzywą inwersji dla lemniskaty.

Krzywa inwersji dla hiperboli jest lemniskatą, a dla lemniskaty – hiperbolą, gdy środek inwersji znajduje się w początku układu współrzędnych.

Rys. 2.9
obrazek

Cisoida Dioklesa, centrum inwersji –
wierzchołek paraboli.

Parabola typu y = ax2 , a > 0

Rys. 2.10
obrazek

Kardioida, gdy centrum inwersji znajduje się
w ognisku paraboli.

Parabola typu: y = ax2 + c, a > 0, c < 0.

 

Rys. 2.11
obrazek

Okręgiem inwersji jest okrąg opisany
na astroidzie.

Rys. 2.12
obrazek

Okrąg inwersji wpisany w astroidę.

W obydwu przypadkach uzyskujemy krzywe podobne do rozet czterolistnych. Czy istnieje przekształcenie przeprowadzające jedną w drugą?

Rys. II
obrazek
 

Sposób konstrukcji punktów inwersji ma związek ze styczną do krzywej; punkty położone na okręgu są punktami stałymi przekształcenia, punkty M i N nazywa się też punktami symetrycznymi względem okręgu.

Linie stowarzyszone z krzywymi, o których będziemy mówić w następnym rozdziale mają związek ze styczną do linii.

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.