Wstęp

Chociaż w analizie matematycznej nie określa się funkcji graficznie, ale do graficznej ilustracji funkcji odwołujemy się zawsze. Graficzne przedstawienie przebiegu jej zmienności, przejrzystość i poglądowość wykresu czynią z niego niezastąpiony środek pomocniczy do badania funkcji. Sposób tworzenia wykresu zależy od sposobu przedstawiania funkcji [1].

Postać analityczna funkcji

W praktyce szkoły średniej jest rozpowszechniony zapis funkcji w postaci: y = f(x) Takie przedstawienie funkcji nosi nazwę analitycznego. Pozostaje do wyjaśnienia:

• jakie operacje czy działania analityczne mogą wchodzić w skład tych wzorów,
• w jakich obszarach funkcja jest określona wyrażeniem analitycznym lub wzorem (dziedzina funkcji)?

Wydawałoby się, że w metodach numerycznych są to kwestie mniej istotne. Nic bardziej mylnego. Musimy np. unikać instrukcji, gdzie występuje dzielenie przez zero (OVERFLOW). Krzywe algebraiczne przecinają się czasami same z sobą (punkty osobliwe); bardzo często w tych punktach istnieją np. dwie styczne – wybór jednej z nich będzie związany ze sposobem zmiany argumentu funkcji. itp.

Wykresy budujemy w ten sposób, że dla dostatecznie gęsto wybranych wartości x (krok argumentu) obliczamy wartości funkcji f(x) notując je w tabelce zmienności, albo od razu nanosząc w układzie współrzędnych pary (x,f(x)) [2]. Wymaga to nakładu pracy i czasu w zależności od wybranego kroku zmian argumentu funkcji i formalnej komplikacji zapisu funkcji. Tymczasem metody numeryczne pozwalają dobrać dowolnie małe zmiany argumentu funkcji Δx, tak aby wykres funkcji na ekranie (wydruk) sprawiał wrażenie ciągłego. 

   REM RYSOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI
   REM ZADANEJ W POSTACI ANALITYCZNEJ


   DEF FN y(x)


10 FOR x = a TO b STEP określ krok
     PSET (x, FN y(x)), kolor
   NEXT x

SCREEN 9
WINDOW (-320, 175)-(319, -174) 
LINE (-300, 0)-(300, 0), 1
LINE (0, -175)-(0, 175), 1

Podobnie ze skalowaniem ekranu, samodzielnie dobieramy mnożniki – instrukcja PSET lub dolną i górną granice pętli. Oczywiście sposób redagowania listingu zależy od umiejętności i wiedzy użytkownika.

Do tworzenia poniższych wykresów przyjęliśmy Δx=0,0001 (STEP).

Rys. 1.1 y = log|x|	Rys. 1.2 y = sin3x + cos3x
Rys. 1.3 y = e-x sin x	Rys. 1.4   x2 y = e 2
Krzywe tej klasy stosujemy w wieku działach fizyki i techniki do opisu układów drgających tłumionych.	Krzywa Gaussa odgrywa ważna rolę w rachunku  prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej.

Parametryczne przedstawienie funkcji

Zależności pomiędzy zmienną niezależną x oraz zmienną zależną y wyrażamy za pomocą pomocniczej zmiennej t zwanej parametrem: x = φ(t), y = ψ(t).

Przykład: niech krzywa będzie określona równaniami parametrycznymi:

x² + y² = 25(sin²t + cos²t) = 5² - równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r = 5..

Czasami jest to jedyne możliwe przedstawienie funkcji. Rozpatrzmy jedną z krzywych pochodzenia mechanicznego; niech po prostej toczy się bez poślizgu okrąg o promieniu r. Jaką krzywą zakreśla dowolny punk toczącego się okręgu? Krzywa ta zwana cykloidą posiada równania parametryczne:

x(t) = r(t - sin t) , y(t) = r(1 - cos t).

Nie istnieje przekształcenie, które pozwoliłoby wyrugować parametr t czyli doprowadzić do postaci analitycznej y = f(x). Jeżeli natomiast z danych równań parametrycznych x = φ(t), y = ψ(t) uda się wyrugować parametr t, to otrzymamy równanie zwyczajne (analityczne) lub uwikłane danej krzywej, bezpośrednio wiążące współrzędne x i y.

10 DEF FN x(t)
   DEF FN y(t)

   FOR t = a TO b krok
     PSET (FNx (t), FNy (t)), kolor
   NEXT t

Rys. 1.5 ELIPSA x = a sin t, y = b cos t, t Є <0,2π>.	Rys. 1.6 LEMNISKATA BERNOULLIEGO x =  t + t2  , y =  t - t3  , t Є (-∞,∞) 1 + t4 1 + t4
Rys. 1.7 TRIFOLIUM x(t) = a cos t(4sin2t - 1)cos(t)  , t Є <0,2π>  y(t) = a cos t(4sin2t - 1)sin(t)	Rys. 1.8 HIPERBOLA RÓWNOOSIOWA x(t) = a cosh t = a et - e-t  , t Є (-∞,∞) 2 y(t) = a sinh t = a et + e-t 2

Funkcja w postaci uwikłanej

W wielu dziedzinach matematyki wygodne jest przedstawianie funkcji w postaci ogólnej f(x,y) = 0 (np. w geometrii analitycznej), gdzie f(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych określoną w pewnym obszarze. Taka postać funkcji nosi nazwę uwikłanej. Czasami jest to jedyne możliwe przedstawienie funkcji, np. słynne równanie Keplera: y ­ x + a sin x = 0 jest nierozwiązywalne analitycznie, tzn. nie można znaleźć rozwiązania poprzez funkcje elementarne.

Poniżej zajmować będziemy się funkcjami postaci f(x,y) = W_n(x,y) = 0, gdzie W_n(x,y) jest wielomianem stopnia całkowitego n względem x i względem y. W takim przypadku funkcja f(x,y) = 0 nosi nazwę funkcji algebraicznej. Inaczej funkcja algebraiczna  to funkcja, która może być wyrażona przez potęgi zmiennych x i y wraz z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Termin ten wprowadził Gottfried Leibniz.

Reprezentacją graficzną takiej funkcji są krzywe (linie) algebraiczne płaskie.

W najprostszym przypadku, gdy n = 1 mamy jednoparametrową rodzinę krzywych:

Ax + By + C = 0

Jest to po prostu inny zapis funkcji liniowej: y = mx + n. Z narysowaniem tych prostych uczeń szkoły średniej nie będzie miał najmniejszych problemów (Rys. 1.9). Ale sytuacja komplikuje się już przy równaniach algebraicznych stopnia 2-go:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, gdy przynajmniej jedna z liczb A, B, C jest różna od zera.

Oczywiście, gdy B = 0 i C = 0, to mamy do czynienia z klasycznym trójmianem kwadratowym i tutaj uczeń również dysponuje wystarczającym aparatem matematycznym i pojęciowym. Ale w innych przypadkach?, np. Ax² + By² + C = 0, lub gdy pojawi się iloczyn niewiadomych xy, nie wspominając o najbardziej ogólnym przypadku (forma kwadratowa).

REM RYSOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI ZADANEJ
REM W POSTACI UWIKŁANEJ
  
DEF FNf (x, y, C)
  
FOR C = a TO b krok
  FOR x = a TO b krok
    FOR y = a TO b krok
      IF ABS(FNf(x,y,C))<.001 THEN
         PSET (x,y),kolor
      ENDIF
    NEXT
  NEXT
NEXT

Wyjdźmy od najprostszych przykładów:

Rys. 1.9 JEDNOPARAMETROWA RODZINA PROSTYCH x + y + C = 0	Rys. 1.10 JEDNOPARAMETROWA RODZINA OKRĘGÓW x2 + y2 + C = 0
Oczywiście, do narysowania tej rodziny prostych użycie powyższego programu jest zbędne. Po prostu wykorzystujemy ten rysunek do testowania poprawności działania naszego programu.	Jest to rozwiązanie równania różniczkowego jednorodnego względem zmiennych x i y: (x2 - y2) dy  - 2xy = 0 dx

Pytanie do czytelnika: jak będą wyglądać rodziny okręgów: x² + y² = Cx, x² + y² = Cx + Cy ?

Rys. 1.11 KRZYWA STOPNIA 4-go (x2 + y2)2 - Cxy = 0; gdy C = 0 krzywa degeneruje się do punktu – początek układu współrzędnych (0.0).	Rys. 1.12 OWALE CASSINIEGO 0,25(x2 + y2)2 - 2(x2 - y2) + C = 0, gdy C = 0 uzyskujemy lemniskatę Bernoulliego (p. Rys. 1.6)
* Jest to rodzina krzywych ortogonalnych do rodziny lemniskat (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2), a ≠ 0.	* Jest to rozwiązanie równania różniczkowego zupełnego y[(x2 + y2) + 4] dy  + x(x2 + y2) = 0 dx

* oznacza, że tekst jest przeznaczony dla czytelnika znającego wyższy kurs analizy matematycznej. Wszystkie wspomniane tutaj równania różniczkowe zostały zaczerpnięte z [3].