Figury płaskie

Przyjmijmy, że poruszamy się w obszarze zmienności funkcji (1.1), określonym przez rozmiary płyty:

(x,y) D2, D = <0,p>.

Wygodniej będzie badać linie funkcyjne, gdy układ współrzędnych przeniesiemy do środka figury
(translacja o wektor obrazek). W pierwszej chwili formalny zapis komplikuje się:

obrazekobrazek. (2.1)

Rys. 2

a)

obrazek
1 : 4; 0

b)

obrazek
2 : 2; p/4

c)

obrazek
3 : 1; p/4

d)

obrazek
3 : 1; p/4

e)

obrazek
2 : 3; p/3

f)

obrazek

g)

obrazek
1 : 4; p/4

h)

obrazek
3 : 5; p/4

i)

obrazek
5 : 1; p/4

 

ale jak się okaże niżej, w ogólnym rozrachunku będzie to opłacalne. Obszar zmienności funkcji (1.2) wówczas:

(x,y) D12D1 = obrazek

a) okresowość funkcji i wielokrotność argumentu

Rys. 3

a)

obrazek
1 : 2; -p/4

b)

obrazek
2 : 4; -p/4

c)

obrazek
1 : 5; p/4

d)

obrazek
2 : 10; p/4

Mówiąc o okresie funkcji (1.2) musimy osobno rozróżniać okres względem zmiennej x i zmiennej y. Z uwagi na podobieństwo wyrażeń występujących w rozpatrywanej funkcji wystarczy udowodnić, że obrazek jest funkcją okresową, czyli że:

obrazekT - okres funkcji.

Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę i zastosowaniu wzoru na sinus różnicy kątów:

obrazek

Ponieważ pierwszy czynnik nie jest tożsamościowo równy zeru:

obrazek  obrazek k C \ {0}, T = 2p jest okresem podstawowym (zasadniczym).

Z pojęciem okresu wiąże się również problem wielokrotności argumentu funkcji.

Rozpatrzmy prosty przypadek a = 0.

obrazek

obrazek

obrazek

obrazek k obrazek <0, m>, k Î Cl  <0,n>,  l Î C.

np. dla m = 3, n = 2 (Rys. 4b) otrzymujemy siatkę prostych:

obrazek  Ç  obrazek

Rys. 4

a)

obrazek
2 : 2; 0

b)

obrazek
3 : 2; 0

b) analiza matematyczna niektórych figur płaskich

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/4 i a = -p/4):

obrazekobrazek

Wprowadzamy fazę: a = p/4 i a= -p/4. Po drobnych przekształceniach otrzymujemy:

dla a = p/4:
obrazek

dla a = -p/4:
obrazek

Stosując wzór na funkcje wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4sin3j, a następnie wzory redukcyjne i odpowiednio grupując wyrazy:

cos2x + cos2y = 3/2 i odpowiednio cos2x - cos2y = 0.

 (2.2)

Wprowadźmy nowe zmienne: cosx = x i cosy = h. Pierwsze równanie (2.2) można by nazwać równaniem quasiokręgu x2 + h2 = 2/3 (Rys. 5a), a drugie jest po prostu równaniem pary prostych x = h Ç x = -h (Rys. 5b). Oprócz równań otrzymujemy równania brzegów figury (xh = 0), które w tym przykładzie i następnych pomijamy.

Rys. 5

a)

obrazek
3 : 1; -p/4

b)

obrazek
3 : 1; p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/8 i a = -p/8)

obrazekobrazek

Zauważmy od razu, że:

obrazek obrazek

Stosując wzór na funkcję wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4 sin3j a następnie wzory redukcyjne otrzymujemy:

dla obrazek
obrazekobrazek

dla obrazek
obrazekobrazek

Opuszczając nawiasy i grupując wyrazy

obrazek

i odpowiednio:

obrazek

Po przekształceniach:

obrazek   obrazek

Wprowadźmy w podobny sposób, jak wyżej, nowe zmienne: cos2x = x i cos2y = h Powyższe równania można by nazwać odpowiednio równaniem elipsy (Rys. 6a) i quasi-hiperboli (Rys. 6b):

obrazekobrazek

(2.3)

Rys. 6

a)

obrazek
3 : 1; p/8

b)

obrazek
3 : 1; -p/8

Stosunek częstotliwości drgań własnych 4 : 1 ( a = p/4 i a = -p/4 )

dla a = p/4:
 obrazek obrazek

dla a = -p/4:
obrazek obrazek

Skorzystajmy dwukrotnie ze wzoru na sinus kąta podwojonego:

obrazek

Posługując się nim, a następnie grupując wyrazy (wzory na sumę i różnicę sześcianów) otrzymujemy:

obrazek

i odpowiednio

obrazek

Jeżeli oznaczymy sinx = x oraz siny = h, to dla a = p/4 oprócz prostej x = -h otrzymujemy równanie quasielipsy x2 + 3h2  = 1 obróconej o kąt a = p/4 (x2 - xh + h2 = 1/2) (Rys. 7a), a dla a = -p/4 prostą x = h oraz równanie tej samej quasielipsy w obrocie o kąt  a = -p/4 (x2  xh + h2 = 1/2) (Rys. 7b).

Rys. 7

a)

obrazek
4 : 1; p/4

b)

obrazek
4 : 1; -p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 5 : 1 (a = p/4 i a = -p/4)

obrazek obrazek

Posłużmy się tożsamością:  obrazek Poprawności jej dowodzimy korzystając np. ze wzoru na sinus sumy kątów obrazek, albo posługując się gotowym wzorem na sinka, który wyprowadza się na gruncie liczb zespolonych, przy pomocy dwumianu Newtona i formuły Moivre'a [4].

obrazek
+ obrazek

Po wprowadzeniu fazy a i zastosowaniu wzorów redukcyjnych

dla a = p/4,  5cos2x - 4cos4x - 5cos2y + 4cos4y = 0,

dla a = -p/4,  5 - 20cos2x + 16cos4x + 5 - 20cos2y + 16cos4y = 0.
 

Stosując wzory skróconego mnożenia oraz grupując wyrazy otrzymujemy następujące rozwiązania:

obrazek   

 (2.4)

i odpowiednio:

obrazek

(2.5)

Jeżeli w równaniu (2.4) wprowadzimy oznaczenia: cosx = x, cosy = h, a w (2.5) obrazek obrazek to wówczas równanie (2.4) przedstawia parę prostych x = h Ç x = -h i quasiokrąg x2 + h2 = 5/4 (Rys. 8a), natomiast równanie (2.5) przedstawia wtedy równanie quasiokręgu rzędu 2-go (Rys. 8b).

Rys. 8

a)

obrazek
5 : 1; p/4

b)

obrazek
5 : 1; -p/4

 



List do administratora Serwisu Edukacyjnego Nauczycieli I LO

Twój email: (jeśli chcesz otrzymać odpowiedź)
Temat:
Uwaga: ← tutaj wpisz wyraz  ilo , inaczej list zostanie zignorowany

Poniżej wpisz swoje uwagi lub pytania dotyczące tego rozdziału (max. 2048 znaków).

Liczba znaków do wykorzystania: 2048

 

W związku z dużą liczbą listów do naszego serwisu edukacyjnego nie będziemy udzielać odpowiedzi na prośby rozwiązywania zadań, pisania programów zaliczeniowych, przesyłania materiałów czy też tłumaczenia zagadnień szeroko opisywanych w podręcznikach.



   I Liceum Ogólnokształcące   
im. Kazimierza Brodzińskiego
w Tarnowie

©2017 mgr Jerzy Wałaszek

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.